Реферат: Кольца и полукольца частных

Определение₃ . Дробью назовём элемент , где - некоторый плотный идеал. ( - сокращение от - гомоморфизм, в данном случае: - гомоморфизм )

Таким образом, - гомоморфизм аддитивных полугрупп, для которого для и .

Введём так же дроби , положив и для .

Сложение и умножение дробей определяются следующим образом:

пусть и тогда

,

, .

Покажем, что является идеалом, где т.е. сохраняются операции:

1. Если , то .

Пусть , , тогда .

2. Если и , то . По условию .

Так как - коммутативное полукольцо, то .

. Таким образом, - идеал.

Покажем, что идеал является плотным: надо доказать, что плотный идеал - , т.е. .

По определению сложения и умножения , т.е. содержит плотный идеал значит, по свойству 2⁰ идеал является плотным.

Дроби образуют аддитивную коммутативную полугруппу с нулём и полугруппу с единицей. То есть образуют полукольцо.

Доказательство:

1. По определению сложения и умножения:

, .

,

2. Коммутативность:

3. Ассоциативность:

4. Нейтральный элемент.

5. Дистрибутивность:

Правосторонняя дистрибутивность аналогично.