Введение

Глава 1.Построение классического полукольца частных

Глава 2.Построение полного полукольца частных

Глава 3.Связь между полным и классическим полукольцами частных

Библиографический список

Введение

В настоящее время теория полуколец активно развивается и находит своё применение в теории автоматов, компьютерной алгебре и других разделах математики.

В работе построены полное и классическое полукольца частных, а так же рассмотрена их связь.

Прежде чем начать рассмотрение этих структур, определим коммутативное полукольцо частных следующим образом.

Непустое множество с определёнными на нём бинарными операциями и называется коммутативным полукольцом, если выполняется следующие аксиомы:

A1. - коммутативная полугруппа с нейтральным элементом , т.е.

1) ;

2)

3)

А2. - коммутативная полугруппа с нейтральным элементом 1, т.е.

1) ;

2)

3)

А3. умножение дистрибутивно относительно сложения:

, .

А4. .

Таким образом, можно сказать, что полукольцо отличается от кольца тем, что аддитивная операция в нём необратима.

Глава 1.

Для построения классического полукольца частных можно воспользоваться следующим методом:

Рассмотрим пары неотрицательных целых чисел .

Будем считать пары и эквивалентными, если , получим разбиение множества пар на классы эквивалентности.

Затем введём операции на классах, превращающие множество классов эквивалентных пар в полуполе, которое содержит полукольцо неотрицательных чисел.

Определение₁ . Элемент назовём мультипликативно сокращаемым, если для из равенства следует, что .

Обозначим через множество всех мультипликативно сокращаемых элементов.

Утверждение₁ . Мультипликативно сокращаемый элемент является неделителем нуля.

Пусть - делитель нуля, т.е. для некоторого . Тогда , но не является мультипликативно сокращаемым.▲

--> ЧИТАТЬ ПОЛНОСТЬЮ <--