Реферат: Курс лекций по теории вероятностей

и называется числом размещений из n элементов по k элементов .

Доказательство . Первый шарик можно выбрать n способами. При каждом из этих способов второй шарик можно выбрать n -1 способом, и т.д. Последний k -й шарик можно выбрать ( n - k +1) способом. По теореме 1 , общее число способов выбора равно

что и требовалось доказать.

Следствие 1. Число возможных перестановок множества из n элементов есть n !

Доказательство ????????, ???? ????????, ??? ???????????? ???? ?? ??? ????, ??? ????????? ?????? ??? ??????????? ? ? ?????? ??????? ???? n ????????? ?? n . ??? ??? ????? ????? ???????????? ?????

Урновая схема: выбор без возвращения и без учета порядка

Теорема 3. Общее количество выборок в схеме выбора k элементов из n без возвращения и без учета порядка определяется формулой

? ?????????? числом сочетаний из n элементов по k элементов .

Доказательство . Заметим, что, согласно следствию 1 , из каждой выборки данного состава (состоящей из k элементов) можно образовать k ! выборок, отличающихся друг от друга только порядком элементов.

То есть число выборок, различающихся еще и порядком, в k ! раз больше, чем число выборок, различающихся только составом. Поделив на k ! , получим утверждение теоремы.

Урновая схема: выбор с возвращением и с учетом порядка

Теорема 4 . ????? ?????????? ??????? ? ????? ?????? k ????????? ?? n ? ???????????? ? ? ?????? ??????? ???????????? ????????

Доказательство . Первый шарик можно выбрать n способами. При каждом из этих способов второй шарик можно выбрать также n способами, и так k раз.

Урновая схема: выбор с возвращением и без учета порядка

Рассмотрим урну с двумя шариками и перечислим результаты выбора двух шариков из этой урны при выборе с возвращением:

С учетом порядка	Без учета порядка
(1, 1) (2, 2) (1, 2) (2, 1)	(1, 1) (2, 2) (1, 2)

Заметим, что в схеме «без учета порядка» получилось 3 различных результата в отличие от четырех в схеме «с учетом порядка». (число 4 возникает и согласно теореме 4 ); и что никаким делением на «число каких-нибудь перестановок» число 3 из 4 получить не удастся.

Теорема 5 . ????? ?????????? ??????? ? ????? ?????? k ????????? ?? n ? ???????????? ? ??? ????? ??????? ???????????? ????????

Доказательство . Рассмотрим подробно, чем отличаются друг от друга два разных результата такой схемы выбора. Нам не важен порядок номеров, то есть мы учитываем только, сколько раз в нашем наборе из k номеров шариков появился шарик номер 1, шарик номер 2, … , шарик номер n . То есть результат выбора можно представить набором чисел k ₁ , k ₂ , … k_n , в котором k_i — число появлений шарика номер i в выборке, и k ₁ + k ₂ + …+ k_n .= k . При этом два результата эксперимента различны, если соответствующие им наборы k ₁ , k ₂ , …, k_n не совпадают.

Представим себе другой эксперимент, имеющий точно такие же результаты (и, следовательно, их столько же). Есть n ящиков, в которых размещается k шариков. Нас интересует только количество шариков в каждом ящике. То есть, результатом эксперимента снова является набор чисел k ₁ , k ₂ , … k_n , в котором k_i — число шариков в ящике с номером i , и k ₁ + k ₂ + … + k_n .= k . Числа k_i по-прежнему принимают натуральные значения или равны 0.

? ?????? ????????? ????????? ?????? ?????????? ? ???? ?????, ? ??????? ???????????? ????? ?????????? ??????????? ????? ???????, ? ?????? ? ??????????? ? ?????? ??????:

Мы видим результат размещения 9 шариков по 7 ящикам. Здесь 1-й ящик содержит 3 шарика, 2-й и 6-й ящики пусты, 3-й ящик содержит 1 шарик, и в 4-м и 5-м ящиках есть по 2 шарика. Переложим один шарик из первого ящика во второй и изобразим таким же образом еще один результат размещения:

И еще один:

?????, ??? ??? ?????????? ????? ????????, ????? ????? ????? ?????? ? ???????????, ??? ?????????? k ??????? ?? n -1+ k ?????. ????? n -1+ k ?????????? ???: ? n ?????? ???? ????? n +1 ???????????, ?????? ???????, ??? n -1 ???????????, ???? ?? ??????? ???????, ??????? ??????? ??????. ? ???? k ???????. ???????? ??? ????????? ??????? ?????????? k ??????? ?? ???? n -1+ k ?????? (? ????? ?? ?????????? ????? ???????????), ????????? ??? ?????? ??????????.

Но способов расставить k шариков на n -1+ k местах ровно — это в точности число способов выбрать из n -1+ k номеров мест k номеров мест (без учета порядка и без возвращения), на которые нужно поместить шарики. Заметим, что равенство верно как по определению биномиальных коэффициентов или свойствам треугольника Паскаля, так и в силу того, что можно вместо выбора k мест для шариков выбирать n -1 место для перегородок ящиков, заполняя шариками оставшиеся места.

1.2 Основные понятия элементарной теории вероятностей

Предмет теории вероятностей. Статистическая устойчивость.

Теория вероятностей изучает закономерности, возникающие в случайных экспериментах (явлениях). Случайным называют эксперимент, результат которого нельзя предсказать заранее. Невозможность предсказать заранее — основное, что отличает случайное явление от детерминированного .

Не все случайные явления (эксперименты) можно изучать методами теории вероятностей, а лишь те, которые могут быть воспроизведены в одних и тех же условиях и обладают (непонятно как проверяемым заранее) свойством «статистической устойчивости : «если А — некоторое событие, могущее произойти или не произойти в результате эксперимента, то доля n ( A )/ n числа экспериментов, в которых данное событие произошло, имеет тенденцию стабилизироваться с ростом общего числа экспериментов n , приближаясь к некоторому числу P ( A ) . Это число служит объективной характеристикой «степени возможности» событию А произойти.

В дальнейшем мы будем говорить лишь о случайных экспериментах, обладающих данными свойствами, а свойство статистической устойчивости докажем в утверждении, известном как закон больших чисел Я.Бернулли.

Пространство элементарных исходов. Операции над событиями

Определение 1 . Пространством элементарных исходов Ω («омега») называется множество, содержащее все возможные результаты данного случайного эксперимента, из которых в эксперименте происходит ровно один. Элементы этого множества называют элементарными исходами и обозначают буквой ω («омега») с индексами или без.

Определение 2 . Событиями мы будем называть подмножества множества Ω . Говорят, что в результате эксперимента произошло событие А Í Ω , если в эксперименте произошел один из элементарных исходов, входящих в множество А .

Замечание 3 . Вообще говоря, можно назвать событиями не обязательно все подмножества множества Ω , а лишь множества из некоторого набора подмножеств. О смысле такого ограничения мы поговорим позднее.