Реферат: Курс лекций по теории вероятностей

А если не для всех подмножеств Ω мы можем определить их вероятности, следует сузить класс множеств, называемых «событиями», оставив в этом классе только те множества, для которых мы можем определить вероятность.

В следующей главе мы займемся построением (вслед за Андреем Николаевичем Колмогоровым) аксиоматики теории вероятностей: познакомимся с понятиями σ -алгебры (или поля) событий, вероятностной меры, вероятностного пространства.

Раздел 3. Аксиоматика теории вероятностей

3.1 σ -алгебра событий

Пусть Ω — пространство элементарных исходов некоторого случайного эксперимента (то есть, вообще говоря, множество произвольной природы). Мы собираемся определить набор подмножеств Ω , которые будут называться событиями, и затем задать вероятность как функцию, определенную только на множестве событий.

То есть событиями мы будем называть не любые подмножества Ω , а лишь подмножества из некоторого «множества подмножеств» Ψ. При этом необходимо позаботиться, чтобы это множество Ψ подмножеств Ω было «замкнуто» относительно введенных в параграфе 1.2 операций над событиями, то есть чтобы объединение, пересечение, дополнение событий (то есть элементов Ψ) снова давало событие (то есть элемент Ψ).

Определение 10 . Множество Ψ, состоящее из подмножеств множества Ω , (не обязательно всех!) называется σ - алгеброй событий , или σ – алгеброй подмножеств Ω , если выполнены следующие условия:

(A1 ) Ω Î Ψ (σ -алгебра событий содержит достоверное событие);

(A2 ) если , то (вместе с любым событием σ -алгебра содержит противоположное событие);

(A3 ) если А₁ , А₂ … Î Ψ, то

(вместе с любым конечным или счетным набором событий σ -алгебра содержит их объединение).

Условия (A1 )–(A3 ) часто называют «аксиомами σ - алгебры».

Проверим, что этого набора аксиом достаточно для замкнутости множества Ψ относительно других операций над событиями.

Вместо первой аксиомы достаточно предположить, что Ψ не пусто, т.е. содержит хоть один элемент.

Свойство 1 . ÆÎΨ (σ -алгебра событий содержит невозможное событие).

Доказательство . По (A1), Ω Î Ψ, но Æ = Ω/ Ω = ¬ Ω ÎΨ в силу (A2 ).

Свойство 2 . При выполнении (A1 ),(A2 ) свойство (A3 ) эквивалентно свойству (A4 )

(A4 ) если А₁ , А₂ … ÎΨ, то

(вместе с любым конечным или счетным набором событий σ -алгебра содержит их пересечение).

Доказательство . Докажем, что при выполнении (A1 ),(A2 ) из (A3 ) следует (A4 ).

Если А₁ , А₂ … ÎΨ, то при всех i = 1, 2,… по свойству (A2 ) выполнено

Тогда из (A3 ) следует, что

и, по (A2 ), дополнение к этому множеству также принадлежит Ψ , то есть

Но, в силу формул двойственности,