Реферат: Курс лекций по теории вероятностей

3. Р( Æ) = 0 ;

4. Р( Ō) = 1 - Р( О) ;

5. если А иВ несовместны, то Р(А U В) = Р(А) + Р(В) ;

6. в общем же случае Р(А U В) = Р(А) + Р(В) - Р(А ∩ В) ;

7. если А Í В , то Р(А) £ Р(В) .

Классическое определение вероятности

Предположим, что мы имеем дело с пространством элементарных исходов, состоящим из конечного числа N элементов: Ω = {ω_1, ω₂ , … ω _N } . Более того, предположим, что из каких-либо соображений мы можем считать элементарные исходы равновозможными. Тогда вероятность любого из них принимается равной 1/ N .

Эти соображения чаще всего не имеют отношения к математической модели и основаны на какой-либо симметрии в эксперименте (симметричная монета, хорошо перемешанная колода карт, правильная кость). Либо мы можем заранее считать исходы эксперимента равновозможными, но тогда рано или поздно все равно возникнет вопрос о соответствии такой математической модели реальному эксперименту.

Если событие А = { } состоит из k элементарных исходов, то вероятность этого события равняется

отношению k / N :

где символом │А│ обозначено число элементов конечного множества А .

Определение 7 .

Говорят, что эксперимент удовлетворяет классическому определению вероятности (или классической вероятностной схеме), если пространство элементарных исходов состоит из конечного числа │А│ = N равновозможных исходов.

? ???? ?????? ??????????? ?????? ??????? А ??????????? ?? ???????

называемой классическим определением вероятности. Эта формула читается так: «вероятность события А равна отношению числа исходов, благоприятствующих событию А , к общему числу исходов».

Замечание 5 . Полезно помнить классическую формулировку Якоба Бернулли: «Вероятность есть степень достоверности и отличается от нее как часть от целого ». (Ars Conjectandi, 1713 г.)

Замечание 6 . Мы видим теперь, что подсчет вероятности в классической схеме сводится к подсчету числа «шансов» (элементарных исходов), благоприятствующих какому-либо событию, и общего числа шансов. Как правило, это делается с помощью формул комбинаторики.

Рассмотрим описанные в параграфе 1.1 урновые схемы. Напомним, что речь идет об извлечении k шариков из урны, содержащей n шариков. При этом три схемы: с возвращением и с учетом порядка, без возвращения и с учетом порядка, а также без возвращения и без учета порядка удовлетворяют классическому определению вероятности.

Общее число элементарных исходов в этих схемах подсчитано в теоремах 4, 2, 3 и равно, соответственно,

Четвертая же схема — схема выбора с возвращением и без учета порядка — имеет заведомо неравновозможные исходы.

Пример 6 . Рассмотрим, скажем, выбор двух шариков из двух или, что то же самое, дважды подбросим монету. Если учитывать порядок, то исходов получится 4, и все они равновозможны, то есть имеют вероятность по 1/4:

(герб, герб), (решка, решка), (решка, герб), (герб, решка).

Если порядок не учитывать, то следует объявить два последних исхода одним и тем же результатом эксперимента, и получить три исхода вместо четырех: выпало два герба, либо две решки, либо один герб и одна решка.

При этом первые два исхода имеют вероятность 1/4, а последний — вероятность 1/4+1/4=1/2.

Гипергеометрическое распределение

Пример 7.

Из урны, в которой n ₁ белых и n - n ₁ чёрных шаров, наудачу, без возвращения вынимают k шаров, k < n . Термин «наудачу» означает, что появление любого набора из k шаров равно возможно. Найти вероятность того, что будет выбрано ровно k ₁ белых и k -k ₁ чёрных шаров.

Заметим, что при k ₁ > n ₁ или k -k ₁ > n - n ₁ искомая вероятность равна 0, так как соответствующее событие невозможно. Пусть k ₁ < n ₁ и k -k ₁ <n - n ₁ . Результатом эксперимента является набор из k шаров. При этом можно не учитывать или учитывать порядок следования шаров.

1. Выбор без учета порядка. Общее число элементарных исходов есть число k –элементных подмножеств множества, состоящего из n элементов, то есть (по теореме 3).