Реферат: Квадратные уравнения и уравнения высших порядков
а) Рассмотрим уравнение ax² + bx + c = 0
x1,2 =
= 
б) Рассмотрим уравнение y² + by + аc = 0
y1,2 =
Заметим, что дискриминанты у обоих решений равны, сравним корни этих двух уравнений. Они отличаются друг от друга на старший коэффициент, корни первого уравнения меньше корней второго на а. Используя теорему Виета и выше приведенное правило, нетрудно решать разнообразные уравнения.
Пример :
Имеем произвольное квадратное уравнение
10х² - 11х + 3 = 0
Преобразуем это уравнение по приведенному правилу
y² - 11y + 30 = 0
Получим приведенное квадратное уравнение, которое можно достаточно легко решить с помощью теоремы Виета.
Пусть y1 и y2 корни уравнения y² - 11y + 30 = 0
y1 y2 = 30 y1 = 6
y1 + y2 = 11 y2 = 5
Зная, что корни этих уравнений отличны друг от друга на а, то
х1 = 6/10 = 0,6
х2 = 5/10 = 0,5
В некоторых случаях удобно решать сначала не данное уравнение ax² + bx + c = 0, а приведенное y² + by + аc = 0, которое получается из данного «переброской» коэффициента а, а затем разделить найденный корни на а для нахождения исходного уравнения.
2.5 Формула Виета для многочленов (уравнений) высших степеней
Формулы, выведенные Виетом для квадратных уравнений, верны и для многочленов высших степеней.
Пусть многочлен
P(x) = a0 xn + a1 xn -1 + … +an
Имеет n различных корней x1 , x2 …, xn .
В этом случае он имеет разложение на множители вида:
a0 xn + a1 xn-1 +…+ an = a0 ( x – x1 )( x – x2 )…(x – xn )
Разделим обе части этого равенства на a0 ≠ 0 и раскроем в первой части скобки. Получим равенство:
xn + (
)xn -1 + … + (
) = xn – (x1 + x2 + … + xn ) xn -1 + ( x1 x2 + x2 x3 + … + xn -1 xn )xn -2 + … +(-1)n x1 x2 … xn
Но два многочлена тождественно равны в том и только в том случае, когда коэффициенты при одинаковых степенях равны. Отсюда следует, что выполняется равенство
x1 + x2 + … + xn = -