Реферат: Л. И. Мандельштамом и Н. Д. Папалекси

The graduation paper “Approximated solution building of nonlinear equation by Van-der-Pol’s method” is dedicated to very effective way of nonlinear problems solution of oscillations theory with one degree of freedom. Van-der-Pol’s method possesses the great visuality and is comfortable for calculations.

The work contains theoretical part by Van-der-Pol’s method, the validation of Mandelshtam and Papalexy method and approximated solution building of the equation:

.

This work is very interesting for the experts in domain of applied mathematics, mechanics, physics and for students of senior courses.

Введение.

Методы возмущений или асимптотические методы малого параметра для решения дифференциальных уравнений представляют собой одно из наиболее мощных средств современной прикладной математики. Они позволяют получать приближенные аналитические представления решений весьма сложных линейных и нелинейных краевых задач как для обыкновенных дифференциальных уравнений, так и для уравнений в частных производных.

Суть асимптотических методов заключается в том, что при их применении достигается синтез простоты и точности за счет локализации: в окрестности некоторого предельного состояния находится упрощенное решение задачи, которое тем точнее, чем меньше эта окрестность.

Аналитические методы обычно делятся на эвристические и точные. Совмещая в себе простоту эвристических представлений с точностью аналитических оценок, асимптотические методы не ограничиваются ролью «золотой середины». В математике они занимают особое место. Главное отличие от классической математики состоит в том, что уровень точности конкурирует с размерами области действия; в заданной области точность асимптотического разложения всегда ограничена. Такая плата за эффективность оказывается вполне приемлемой не только на практике, но и в теории, если этот «принцип неопределенности» допустить хотя бы в ту область математики, которая занимается асимптотическими методами. Жизненность и перспективность асимптотических методов подтверждается также тем фактом, что активное взаимодействие численных методов с аналитическими происходит также через асимптотику.

Эффективность асимптотических методов признана всеми в самых разных областях прикладной математики.

Многие задачи, с которыми сталкиваются сегодня физики, инженеры и специалисты по прикладной математике, не поддаются точному решению. Среди причин, затрудняющих точное решение, можно указать, например, нелинейные уравнения движения, переменные коэффициенты и нелинейные граничные условия на известных или неизвестных границах сложной формы. Для решения подобных задач мы вынуждены пользоваться различного рода приближениями, комбинируя численные и аналитические методы. Среди аналитических методов весьма мощными являются методы возмущений (асимптотических разложений) по большим или малым значениям параметра или координаты.

В большинстве задач гидромеханики, динамики твердого тела и других разделов физики крайне редко оказывается возможным получить точные решения — причиной этого служат обычно различного рода нелинейности, неоднородности или сложные граничные условия. Поэтому инженеры, физики и специалисты по прикладной математике вынуждены обращаться к приближенным решениям, которые могут строиться либо численными методами, либо аналитическими, либо путем комбинации численных и аналитических подходов.

В настоящее время, в эпоху быстрого развития вычислительной техники, асимптотические методы отнюдь не утрачивают своего значения. Они служат для выяснения качественных особенностей задач, для получения асимптотик и анализа особых точек, для построения опорных «тестовых» решений, а в ряде случаев являются также основой для разработки вычислительных методов.

1. МЕТОД ВАН-ДЕР-ПОЛЯ

Метод Ван-дер-Поля возник в 1920-1923гг. в связи с быстрым развитием радиотехники после изобретения электронной лампы. В связи с созданием различных радиотехнических устройств необходимо было создать генератор устойчивых колебаний постоянной амплитуды. Для решения этой задачи необходимо было перейти от линейного генератора колебаний к нелинейному. Ван-дер-Поль показал, что для этой цели можно использовать малые нелинейности, однако даже при малых нелинейностях получившаяся задача не допускала интегрирования колебаний в квадратурах. Ван-дер-Поль разработал приближенный асимптотический метод интегрирования дифференциальных уравнений второго порядка подобного рода.

1.1. Метод усреднения Ван-дер-Поля.

В своих исследованиях Ван-дер-Поль рассматривал, главным образом, уравнения с малым положительным параметром ε вида

(1)

Оно описывает всякого рода колебательные движения в среде низкого сопротивления.

Уравнение (1) условимся называть квазилинейным, а колебания, которые оно описывает, — квазилинейными колебаниями. Функция f может быть весьма общего вида и, в частности, даже разрывной.

Уравнение

(1.2)

называется порождающим. Оно описывает гармонические колебания. Общее решение этого уравнения:

х=acos(ωt+φ),

оно описывает некоторый колебательный процесс, обладающий частотой ω. Естественно предположить, что в случае малых значений ε решение уравнения (1) будет описывать также некоторый колебательный процесс.

Для получения приближенного решения уравнения (1) при достаточно малых значениях параметра ε Ван-дер-Поль предложил особый прием, названный им методом «медленно меняющихся» коэффициентов, аналогичный одному из методов, применявшихся еще Лагранжем в небесной механике. Он представил истинное решение уравнения (1) в виде функции, выражающей гармонические колебания:

х=acos(ωt+φ) (2)

с медленно меняющимися амплитудой а и фазой φ, которые должны находиться из системы дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными:

, (3)

составленными по определенному правилу. Уравнения (3), так называемые «укороченные уравнения» Ван-дер-Поля, позволяют сравнительно просто получить приближенное решение исходного уравнения (1). В частности, задача отыскания периодического решения уравнения (1) сводится к значительно более простой задаче нахождения состояния равновесия системы, описываемой «укоро­ченными уравнениями» (3).

Перейдем к составлению «укороченных уравнений» для рассматриваемого уравнения (1), или эквивалентной ему системы двух уравнений первого порядка

(4)

Прежде всего, заметим, что при ε=0 уравнение (1) превращается в дифференциальное уравнение обычного гармонического осциллятора, и тогда решение системы (4) имеет вид:

(5)

где а и φ— постоянные интегрирования.

Будем отыскивать решение уравнения (4) при достаточно малых значениях параметра ε в виде выражений (5), но уже считая а и φ не постоянными, а некоторыми функциями времени. Для этого будем рассматривать выражения (5) не как решения уравнения (4) при ε = 0, а как формулы замены старых переменных х и у на новые переменные а и φ.

Сделаем замену: .

Продифференцировав выражения (5) по t, подставим значения производных в уравнениях (4). Принимая во внимание формулы (5), получаем систему уравнений относительно производных, новых переменных а и φ:

(6)

разрешая систему (6) относительно и , находим систему уравнений:

(7)