Реферат: Л. И. Мандельштамом и Н. Д. Папалекси

— удовлетворяет условию Липшица, поэтому мы можем воспользоваться этим, переходя к оценкам

(11)

(12)

Пусть , причем , тогда:

(13)

Оценим

(14)

Фактически нужно оценить величину .

Используем условие Липшица для , тогда последнее неравенство

(последняя оценка получена с помощью неравенства (11)).

(15)

(16)

Можно увидеть следующую закономерность

(17)

По методу математической индукции, для оценки верны. Покажем их справедливость и для

Используя формулу (13), далее получим:

(18)

Теперь в этом неравенстве перейдем к пределу при

(19)

Обозначим через

Так как мы пользовались условиями Липшица, нужно убедиться, что приближения не выходят из области G.

— по теореме Пикара это не выходит за пределы области G, то есть

В силу плотности числовой прямой

, где (20)

Проверим, вышло ли первое приближение за пределы области G. Пользуясь оценками (19) и (20), имеем:

Возьмем

,

тогда

Аналогично проверяем второе приближение

Возьмем

, тогда

И если

,

если

Если мы перейдем к перейдем к пределу при , то получим:

(21)

Если мы будем выбирать из условия (21), то использование условия Липшица законно.

необходимо согласовывать с с помощью (21) и

Решение уравнения

Рассмотрим уравнение

(1)

Данное уравнение второго порядка описывает колебательное движение. Здесь ω – некоторая действительная постоянная, а ε – малый параметр.

Делаем в уравнении (1) замену: тогда получим систему