Реферат: Лекции (1-18) по мат. анализу 1 семестр

_n<ε _n+_n_n+_n<ε+ε=2ε=ε₁n>N

_n<ε

Зададим ε₁>0, положим ε=ε₁/2. Тогда для любого ε₁>0 N=maxN₁N₂ :  n>N  _n+_n<ε₁  lim(_n+_n)=0, то

^n

есть _n+_n – бесконечно малое.

Теорема Произведение бесконечно малого есть бесконечно малое.

_n,_n – бесконечно малое  _n_n – бесконечно малое.

Докозательство:

Зададим ε₁>0, положим ε=ε₁, так как _n и _n – бесконечно малое для этого ε>0, то найдётся N₁:  n>N  _n<ε

N₂:  n>N₂  _n<ε

Возьмем N=max {N₁;N₂}, тогда n>N = _n<ε

_n<ε

_n_n=_n_n<ε²=ε₁

 ε₁>0 N:n>N _n_n<ε²=ε₁

lim _n_n=0  _n_n – бесконечно малое, что и требовалось доказать.

^n

Теорема Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую последовательность есть бесконечно малая последовательность

а_n – ограниченная последовательность

_n –бесконечно малая последовательность  a_n_n – бесконечно малая последовательность.

Доказательство: Так как а_n – ограниченная  С>0: nN  a_nC

Зададим ε₁>0; положим ε=ε₁/C; так как _n – бесконечно малая, то ε>0 N:n>N _n<ε a_n_n=a_n_n