Реферат: Лекции по Математике 2

Одночлен – это произведение двух или нескольких сомножителей, каждый из которых либо число, либо буква, либо степень буквы. Например,

3 a 2 b 4 , b d 3 , – 17 a b c

- одночлены. Единственное число или единственная буква также могут считаться одночленом. Любой множитель в одночлене называется коэффициентом. Часто коэффициентом называют лишь числовой множитель. Одночлены называются подобными, если они одинаковы или отличаются лишь коэффициентами. Поэтому, если два или несколько одночленов имеют одинаковые буквы или их степени, они также подобны.

Степень одночлена – это сумма показателей степеней всех его букв.

Сложение одночленов. Если среди суммы одночленов есть подобные, то сумма может быть приведена к более простому виду:

a x 3 y 2 – 5 b 3 x 3 y 2 + c 5 x 3 y 2 = ( a – 5 b 3 + c 5 ) x 3 y 2 .

Эта операция называется приведением подобных членов. Выполненное здесь действие называется также вынесением за скобки.

Умножение одночленов. Произведение нескольких одночленов можно упростить, если только оно содержит степени одних и тех же букв или числовые коэффициенты. В этом случае показатели степеней складываются, а числовые коэффициенты перемножаются.

П р и м е р :

5 a x 3 z 8 ( – 7 a 3 x 3 y 2 ) = – 35 a 4 x 6 y 2 z 8 .

Деление одночленов. Частное двух одночленов можно упростить, если делимое и делитель имеют некоторые степени одних и тех же букв или числовые коэффициенты. В этом случае показатель степени делителя вычитается из показателя степени делимого, а числовой коэффициент делимого делится на числовой коэффициент делителя.

П р и м е р :

35 a 4 x 3 z 9 : 7 a x 2 z 6 = 5 a 3 x z 3 .

Многочлен - это алгебраическая сумма одночленов. Степень многочлена есть наибольшая из степеней одночленов, входящих в данный многочлен.

Умножение сумм и многочленов. Произведение суммы двух или нескольких выражений на любое выражение равно сумме произведений каждого из слагаемых на это выражение:

( p+ q+ r ) a = pa+ qa+ ra  раскрытие скобок.

Вместо букв p, q, r, a может быть взято любое выражение.

П р и м е р :

( x+ y+ z )( a+ b ) = x( a+ b ) + y( a+ b ) + z( a+ b ) =

= xa + xb + ya + yb + za + zb .

Произведение сумм равно сумме всех возможных произведений каждого слагаемого одной суммы на каждое слагаемое другой суммы.

Формулы сокращённого умножения

Из правил умножения сумм и многочленов легко получить следующие семь формул сокращённого умножения.

Их следует знать наизусть, так как они применяются практически во всех задачах по математике.

[1] ( a + b )² = a² + 2ab + b² ,

[2] ( a – b )² = a² – 2ab + b² ,

[3] ( a + b ) ( a – b ) = a² – b²,

[4] ( a + b )³ = a³ + 3a² b + 3ab² + b³ ,

[5] ( a – b )³ = a ³ – 3a² b + 3ab² – b³ ,