Реферат: Лекции по Математике 2

уравнением, то корень x = 3 будет потерян при делении

обеих частей уравнения на x – 3 .

В последнем уравнении (п.2) мы можем разделить все его члены на 3 (не ноль!) и окончательно получим:

3x2 – x – 2 = 0 .

Это уравнение равносильно исходному:

( 3x+ 2 )2 = 15x + 10 .

Можно возвести обе части уравнения в нечётную степень или извлечь из обеих частей уравнения корень нечётной степени. Необходимо помнить, что:

а) возведение в чётную степень может привести к приобретению посторонних корней;

б) неправильное извлечение корня чётной степени может привести к потере корней.

П р и м е р ы . Уравнение 7x = 35 имеет единственный корень x = 5 .

Возведя обе части этого уравнения в квадрат, получим

уравнение:

49x2 = 1225 .

имеющее два корня: x = 5 и x = – 5. Последнее значение

является посторонним корнем.

Неправильное извлечение квадратного корня из обеих

частей уравнения 49x2 = 1225 даёт в результате 7x = 35,

и мы теряем корень x = – 5.

Правильное извлечение квадратного корня приводит к

уравнению: | 7x | = 35, а следовательно, к двум случаям:

1) 7x = 35, тогда x = 5 ; 2) – 7x = 35, тогда x = – 5 .

Следовательно, при правильном извлечении квадратного

корня мы не теряем корней уравнения.

Что значит правильно извлечь корень? Здесь мы встречаемся

с понятием арифметического корня (см. параграф

“Арифметический корень”).

Линейные уравнения с одним неизвестным

Линейным уравнением с одним неизвестным называется уравнение вида:

ax + b = 0,