Реферат: Лекции по Математике 2

[7] ( a – b )( a ² + ab + b² ) = a³ – b³ .

П р и м е р . Вычислить 99³, используя формулу [5] .

Р е ш е н и е : 99³ = (100 – 1)³ = 1000000 – 3 · 10000 · 1 + 3 · 100 · 1 – 1 = 970299.

Деление многочленов

Что значит разделить один многочлен P на другой Q ? Это значит найти многочлены М (частное) и N (остаток), удовлетворяющие двум требованиям:

1) имеет место равенство: MQ + N = P ;

2) степень многочлена N меньше степени многочлена Q.

Деление многочленов может быть выполнено по следующей схеме:

1) Делим первый член 16a³ делимого на первый член 4a² делителя; результат 4a является первым членом частного.

2) Умножаем полученное выражение 4a на делитель 4a² – a + 2 ; записываем результат 16a³ – 4a² + 8a под делимым (один подобный член под другим).

3) Вычитаем почленно этот результат из делимого и сносим вниз следующий по порядку член делимого 7; получаем остаток 12a² –13a + 7 .

4) Делим первый член 12a² этого выражения на первый член 4a² делителя; результат 3 – это второй член частного.

5) Умножаем этот второй член частного 3 на делитель 4a² – a + 2 и вновь записываем результат 12a² – 3a + 6 под делимым (один подобный член под другим).

6) Вычитаем почленно полученный результат из предыдущего остатка и получаем второй остаток: – 10a + 1. Его степень меньше степени делителя, поэтому деление заканчивается.

В результате получили частное 4a + 3 и остаток –10 a + 1.

Деление многочлена на линейный двучлен

Линейный двучлен. Теорема Безу.

Линейный двучлен есть многочлен первой степени: a x + b. Если разделить многочлен, содержащий букву x , на линейный двучлен x – b, где b – некоторое число (положительное или отрицательное), то остаток будет только многочленом нулевой степени (см. параграф “Деление многочленов”), т.е. некоторым числом N , которое можно определить, не находя частного. Более точно, это число равно значению многочлена, получаемому при x = b. Это свойство вытекает из теоремы Безу: многочлен a0 xm + a1 xm-1 + a2 xm-2 + …+ am делится на двучлен x – b с остатком N = a0 bm + a1 bm-1 + a2 bm-2 + …+ bm .

Д о к а з а т е л ь с т в о . В соответствии с определением операции деления многочленов (см. параграф “Деление многочленов”) мы имеем:

a0 xm + a1 xm-1 + a2 xm-2 + …+ am = ( x – b ) Q + N ,

где Q – некоторый многочлен, N – некоторое число.

Подставим x = b , тогда слагаемое ( x – b ) Q обращается в нуль, и мы получаем:

a0 bm + a1 bm-1 + a2 bm-2 + …+ am = N .

З а м е ч а н и е . При N = 0 число b является корнем уравнения:

a0 xm + a1 xm-1 + a2 xm-2 + …+ am = 0 .

Теорема доказана.

Делимость двучленов

Cледствием теоремы Безу являются следующие признаки делимости двучленов: