Реферат: Лекции по математике
0 x 1 x 2 X
Из треугольника ABC:
.
, 
- формулы для нахождения координат середины отрезка.
2.2.3. Общее уравнение прямой
Теорема 1 . Всякое невырожденное уравнение первой степени с двумя переменными определяет на плоскости некоторую прямую, и наоборот.
Аx +Вy +С =0 - общее уравнение прямой,
- условие невырожденности.
Рассмотрим различные случаи расположения прямой на плоскости в зависимости от коэффициентов общего уравнения.
1) 1) С = 0, Ax + By = 0 - прямая проходит через начало координат;
А = 0, By + C = 0 - прямая проходит параллельно оси ОХ ;
В = 0, Ax + C = 0 - прямая проходит параллельно оси ОУ ;
2) 2) A = C = 0, By = 0 - прямая совпадает с осью ОХ ;
B = C = 0, Ax = 0 - прямая совпадает с осью ОУ .
Расстояние от точки M 0 (x 0 ,y 0 ) до прямой , заданной общим уравнением Ax + By + C = 0, находится по формуле
.
2.2.4. Уравнение прямой с угловым коэффициентом
Предположим, что прямая расположена под углом j к оси ОХ и отсекает от оси ОУ отрезок в b единиц. Составим уравнение этой прямой.
Возьмем произвольную точку M (x, y ), лежащую на этой прямой, и найдем уравнение, связывающее переменные x и y . Из рисунка видно: AM = AN + NM , где AM = y , AN = b . Из треугольника BMN: MN = BN · tg j. Обозначим tg j = k и назовем его угловым коэффициентом прямой. MN = k · x . Подставляя в равенство AM = AN + NM выражения отрезков AM = y , AN = b , MN = k · x ; получим y = k · x + b - уравнение прямой с угловым коэффициентом.
2.2.5. Уравнение прямой, проходящей
через данную точку в данном направлении
Предположим, что прямая проходит через точку M 1 (x 1 ,y 1 ) и образует с осью OX
угол j . Составим уравнение этой прямой.
Y
y M(x,y)
у 1 M 1 (x 1 ,y 1 ) N
j
0 х1 х Х
Будем искать уравнение прямой в виде уравнения с угловым коэффициентом: y = k · x + b . Угловой коэффициент прямой можно найти, зная угол наклона k = tg j . Возьмем произвольную точку M (x, y ), лежащую на этой прямой, и найдем уравнение, связывающее переменные x и y . Так как точки М и M 1 лежат на прямой, то их координаты удовлетворяют уравнению прямой: y = k · x + b, y 1 = k · x 1 + b. Вычитая эти равенства, получим:
y - y 1 = k · (x - x 1 ) - уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении.
2.2.6. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки
Даны две точки M 1 (x 1 , y 1 ) и M 2 (x 2 , y 2 ). Составим уравнение прямой, проходящей через две эти точки,
- угловой коэффициент прямой, проходящей через две данные точки.