Реферат: Лекции по математике

, , .

С помощью этих матриц систему можно записать в виде .

,

.

1.2.3. Решение системы с помощью формул Крамера

Рассмотрим неоднородную систему n линейных уравнений с n неизвестными:

Теорема (теорема Крамера) . Если определитель матрицы , составленной из коэффициентов при неизвестных, отличен от нуля (), то система имеет единственное решение , которое можно найти по формулам Крамера:

, где - главный определитель, - j -й вспомогательный определитель, который получен из определителя заменой j -го столбца столбцом свободных членов.

Если главный определитель равен нулю и хотя бы один их вспомогательных определителей отличен от нуля, то система решений не имеет.

Если главный определитель и все вспомогательные определители равны нулю, то система имеет бесконечно много решений.

1.2.4. Решение СЛУ методом Гаусса.

Определение 1. Элементарными преобразованиями системы называются:

1) умножение уравнения на число, отличное от нуля;

2) прибавление к одному уравнению другого уравнения, умноженного на некоторое число, отличное от нуля.

3) перестановка двух уравнений;

4) отбрасывание уравнения 0=0.

Если получено уравнение 0=k , то система несовместна .

Метод Гаусса состоит в приведении системы к диагональному виду путем последовательного исключения неизвестных. Количество исключенных неизвестных равно числу линейно независимых уравнений . Переменная считается исключенной, если она содержится только в одном уравнении с коэффициентом 1.

Пример.

.

Метод Гаусса удобно применять к расширенной матрице системы, левую часть которой с помощью элементарных преобразований матрицы нужно привести к единичной матрице . Составим расширенную матрицу:

Получено решение системы х (3;2;1).

Вопросы для самопроверки.

1.Что представляет собой система линейных уравнений с п неизвестными?

2. Перечислите способы решения СЛУ.

3. Какие прикладные задачи можно решать матричным способом?

4. Назовите формулы Крамера.