Реферат: Математична статистика

Виходить, що ймовірність того, що випадковий інтервал покриває невідоме значення параметра q дорівнює g . Такий інтервал називається довірчим . Отже, інтервальна оцінка визначається довірчим інтервалом та надійністю. Чим менша надійність, тим вужчий довірчий інтервал, і навпаки. На практиці надійність задається близькою да 1 . Найбільш часто задають надійності 0.95 ,0.99 і 0.999 .

6.Статистичні оцінки чисельних характеристик дискретних розподілів

Нехай X дискретна випадкова величина із розподілом

.(1.2)

Множина значень випадкової величини X є генеральною сукупністю і вважається відомою.

Приклад 4.1.1. Кількість очок, яка випадає при киданні несиметричного кубика є дискретною випадковою величиною з розподілом

з відомими значеннями та невідомими ймовірностями.

Нехай потрібно знайти математичне сподівання випадкової величини X (яке в математичній статистиці називається генеральним середнім і позначається ) та дисперсію (генеральну дисперсією ). Для цього здійснюють вибірку об’єму n .

Статистичною оцінкою генерального середнього є випадкова величина

,(1.3)

де – дискретна випадкова величина – кількість значень у вибірці. Вона може набувати значень від 0 до n . Статистична оцінка є незміщенною (), ефективною та умотивованною.

Доведення . Якщо вважати, що вибірка здійснюється по одному, то випадкову величину можна також представити як суму випадкових величин - варіанта при -вийманні, кожна з яких має розподіл, який співпадає з розподілом випадкової величини :

Тому для математичного сподівання випадкової величини можна записати

З врахуванням того, що випадкові величини мають однаковий розподіл з випадковою величиною можна записати, що

,

і, як наслідок,

.

Отже, статистична оцінка є незміщенною.

Дисперсії випадкових величин однакові. Якщо вони обмежені, то згідно теореми Чебишева (3.9.2.1

,

а це означає, що по ймовірності збігається до генерального середнього, що, у свою чергу, означає, що є ефективною статистичною оцінкою генерального середнього.

Випадкова величина (вибіркова дисперсія)

(1.4)

є зміщенною () статистичною оцінкою дисперсії дискретної випадкової величини X – генеральної дисперсії. Тому для генеральної дисперсії використовується “виправлена” вибіркова дисперсія

,(1.5)

яка є незміщенною (), ефективною та умотиванною.

Різниця між вибірковою та “виправленною” вибірковою дисперсіями при достатньо великому об’ємі вибірки мала. На практиці користуються “виправленною” дисперсією , якщо приблизно .