Реферат: Математичне програмування в економіці

2 х₁ + 0,5 х₂ £ 240;

х₁ + х₂ £ 150;

х₁ + х₂ ³ 110;

10 х₁ + 20 х₂ ³ 1400;

х₁ ³ 0;

х₂ ³ 0.

Нерівність – обмеження графічно відображається півплощіною, а границя – граничною прямою, рівняння якої утворюється перетворенням нерівності на рівняння.

l₁ ® x₁ + 3,5x₂ = 350 ;

x₁ = 0, x₂ = 350 / 3,5 = 100 ; x₂ = 0, x₁ = 350.

Щоб з’ясувати, яка напівплощіна задовольняє нерівності, перевіримо, наприклад, чи включає точку (0,0) 0 + 3,5 × 0 £ 350 напівплощіна нижче граничної прямої – нерівність виконується – напівплощіна нижче границі.

Таким же чином перевіримо та побудуємо інші нерівності:

l₂ ® 2x₁ + 0,5x₂ = 240 ;

x₁ = 0, x₂ = 240 / 0,5 = 480 ; x₂ = 0, x₁ = 240 / 2 = 120 ;

l₃ ® x₁ + x₂ = 150; x₁ = 0; x₂ = 150; x₂ = 0, x₁ = 150;

l₄ ® x₁ + x₂ = 110; x₁ = 0; x₂ = 110; x₂ = 0, x₁ = 110;

l₅ ® 10x₁ + 20x₂ = 1400;

x₁ = 0, x₂ = 1400 / 20 = 70; x₂ = 0, x₁ = 1400 / 10 = 140;

але точка (0,0) 10 × 0 + 20 × 0 = 0 ³ 1400 не відповідає нерівності, тому нам потрібна півплощіна вище граничної прямої.

Таким чином отриманий многокутник розв’язків, до речі – опуклий, як завжди.

З метою знаходження максимуму цільової функції

Z = 10 x₁ + 20 x₂ побудуємо лінію рівня цільової функції, поклавши Z = 0 ,

10 x₁ + 20 x₂ = 10; x₁ = 0, x₂ = 40; x₂ = 0; x₁ = 80;

зростання цільової функції позначає паралельне зміщення самій собі догори, доки остання крапка не вийде на границю многокутника розв’язків.

Ця точка відповідає перетину прямих

х₁ + 3,5 х₂ = 350; - l₁ ( × ) C (70; 80)

х₁ + х₂ = 250; - l₃

х₁ = 70, х₂ = 80,

Z_max (x) = 10 × x₁ + 20 × x₂ = 10 × 70 + 20 × 80 = 23000 грн.

Слушне зауваження у підручнику – якщо було б потрібно знайти мінімальне значення цільової функції, так лінію рівня потрібно зміщувати униз, доки остання крапка вийде на границю многокутника розв’язків – це l₅ , усі крапки якої є розв’язком задачі – нескінченна множина рішень.