Реферат: Математичне програмування в економіці

Оптимальний план х* = (0; 0,6; 0,4); Z* = 2,4.

Тема 2. Загальна задача лінійного програмування та деякі з методів її розв’язування

У загальному вигляді розв’язання задачі математичного програмування майже неможливо. Найдосконало вивчені задачі лінійного програмування. Це пояснюється тим, що більшість реальних економічних моделей зводиться до задачі лінійного програмування, внаслідок чого і методи розв’язку задач лінійного програмування найбільш розвинені.

Загальною задачею лінійного програмування зветься задача знаходження максимального (мінімального) значення функції

n

Z = S C_j ´ X_j ,

j =1

( Z = С₀ + С₁ Х₁ + С₂ Х₂ + . . . + С _n Х _n );

За умов функціональних обмежень:

n

S a_ij x_j £ b_i , де і = 1,2, . . . , k;

j =1

а₁₁ х₁ + а₁₂ х₂ + . . . + a_{1 n} x_n £ b₁ ,

а₂₁ х₁ + а₂₂ х₂ + . . . + a_{2 n} x_n £ b_{2 ,}

а_k1 х₁ + а_k2 х₂ + . . . + a_kn x_n £ b_{k ,}

n

S a_ij x_j = b_i , де і = k +1, k + 2, . . . , m;

j=1

a_k+1;1 x₁ + a_k+1;2 x₂ + . . . + a_k+1;n x_n = b_k+1 ,

a_k+2;1 x₁ + a_k+2;2 x₂ + . . . + a_k+2;n x_n = b_k+2 ,

a_m;1 x₁ + a_m;2 x₂ + . . . + a_m;n x_n = b_m

нефункціональних обмежень:

x_j ³ 0 , де j = 1,2,3,. . . n;

а також a_ij ; b_i ; c_j – задані постійні величини, а ще k £ m.

Цільову функцію можливо оптимізувати на “max”, або на “min” – це не є принципово, бо у точці х* функція Z = f (x*) – досягає мінімуму, а функція Z = - f (x*) – досягає максимуму. Таким чином ми завжди можемо мінімізувати цільову функцію, не втрачаючи загальності підходу.

Цільова функція та усі функціональні обмеження , як ми вже бачили, мають лінійну форму відносно невідомих x_j , що і дає цій задачі математичного програмування назву – лінійне програмування.

Невідомі, які присутні у лінійній моделі, відповідно нефункціональним обмеженням невід’ємні, що теж не обмежує загальності підходу, бо є можливість завжди перепозначити

x_j = - (x_j )^- , де (x_j )^- - від’ємне.

В залежності від вигляду функціональних обмежень (нерівності або рівності) загальну задачу лінійного програмування поділяють на: