Реферат: Методы обучения математике в 10 -11 класах

Тому . Ми отримали функцію, яка характеризує зміну відстані між суднами в залежності від часу. Дослідимо цю функцію на мінімум.

Знайдемо похідну . Відшукаємо критичні точки, проміжки зростання та спадання функції на цих проміжках та знайдемо точку екстремуму:

;

;

.

на проміжку (-;), на проміжку (;), тобто

t_m= - точка мінімуму функції l.

В момент часу t_m= відстань між суднами буде мінімальною.

В сильному класі, для розширення кругозору учнів, та розширення можливостей застосування похідної можна розглянути задачі геометричного та біологічного типу, при вивченні теми “Найбільше та найменше значення функції”.

Приклад 1. Для будівництва будинку прямокутної форми зображеного на плані темним прямокутником з площею м² відведено ділянку прямокутної форми, межі якої повинні знаходитись від будинку на відстані 36 і 16 метрів. Які розміри потрібно надати будинку, щоб площа ділянки ABCD була найменшою ?

Розв’язання

Позначимо розміри будинку через і .
Площа будинку 400 м², тобто м².

Враховуючи відстані від будинку до межі отримаємо довжини меж: AD= і AB= м.

Запишемо площу ділянки як функцію сторони х:
(х) =.

Для знаходження мінімальної площі ділянки скористаємося властивістю похідної для дослідження цільової функції на мінімум.

. Прирівняємо до нуля і отримаємо значення: . Беремо додатне значення змінної х, - бо сторона.

Дослідимо знак похідної на проміжках:

Похідна змінює знак з “–“ на “+”, тобто буде точкою мінімуму. А значення функції в цій точці .

Відповідь: , .

Приклад 2. Швидкість зростання популяції x задана формулою y=0,001x(100-x) (час t виражено в днях). При якій чисельності популяції ця швидкість максимальна ? Скільки особин повинна містити рівноважна популяція, щоб швидкість зростання її спала до нуля?

Розв’язання

В цьому прикладі y – це функція, яку необхідно дослідити на максимум. Тому знайдемо першу похідну: y=0,1-0,002x. Знайдемо критичні точки, прирівнявши її до нуля: x=50. Ця точка є точкою максимуму функції. Тобто при чисельності 50 особин, швидкість зростання популяції буде максимальною.

Тепер необхідно перевірити, чи є таке число особин, при якому швидкість зростання популяції спадає до нуля. Прирівнюємо швидкість до нуля 0,001x(100-x)=0, і отримаємо значення шуканої чисельності х=0 або х=100, нуль відкидаємо, бо не задовольняє умову. Тому при чисельності в 100 особин, швидкість зростання популяції буде рівна нулю.

§4. ЧАСТКОВО-ПОШУКОВИЙ МЕТОД

Цей метод вимагає майже самостійної роботи учнів, а вчитель лише спрямовує мислення учнів до певних висновків.

Цим методом краще користуватись, коли необхідно закріпити пройдений матеріал чи певну тему, або для перевірки підготовленості учнів до вивчення певної теми.

Розглянемо використання методу на прикладі вивчення періодичності функції.

Варто наступним чином розпочати урок.