Реферат: Методы решения некорректно поставленных задач

1.3 . Задача нахождения приближенного решения не­корректно поставленной задачи вида

Az = и, и ÎU, (1; 3,1)

в естественном классе элементов F является практически недоопределенной.Эта задача является некорректно поставленной, например, в случаях, когда А — вполне непрерывный оператор. Тогда обрат­ный ему оператор A^-1 вообще говоря, не будет непрерывным на U и решение уравнения (1; 3,1) не будет устойчивым к малым изменениям правой части и (в метрике пространстваU). Исход­ными данными здесь являются правая часть уравнения u и оператор А.

Предположим, что оператор А нам известен точно, а правая часть уравнения (1; 3,1) известна с точностью d, т. е. вместо ее точного значения u_T нам известны элемент и ¹ и число d такие, что r_U (u_T ,u¹ )<= d. По этим данным, т. е. по (u¹ , d), требуется найти такой элемент z_d , ко­торый стремился бы (в метрике F) кz_T при d®0. Та­кой элемент мы будем называть приближенным (к z_T ) решением уравнения Az = и ¹ .

Элементы zÎF, удовлетворяющие условию r_U (Az, и ¹ ) <= d, будем называть сопоставимыми по точности с ис­ходными данными (и ¹ , d). Пусть Q_d —совокупность всех таких элементов z ÎF. Естественно приближенные ре­шения уравнения Az=и ¹ искать в классе Q_d элементов z , сопоставимых по точности с исходными данными

(и ¹ , d ).

Однако в ряде случаев этот класс элементов слишком широк. Среди этих элементов есть такие, которые могут сильно отличаться друг от друга ( в метрике пространства F ). Поэтому не все элементы класса Q_d можно брать в качестве приближенного решения уравнения (1;3,1).

2. МЕТОД ПОДБОРА. КВАЗИРЕШЕНИЯ

Возможность определения приближенных решений некорректно поставленных задач, устойчивых к малым изменениям исходных данных, основывается на исполь­зовании дополнительной информации относительно реше­ния. Возможны различные типы дополнительной инфор­мации.

В первой категории случаев дополнительная инфор­мация, носящая количественный характер, позволяет сузить класс возможных решений, например, до ком­пактного множества, и задача становится устойчивой к малым изменениям исходных данных. Во второй катего­рии случаев для нахождения приближенных решений, устойчивых к малым изменениям исходных данных, ис­пользуется лишь качественная информация о решения (например, информация о характере его гладкости).

В настоящей главе будет рассмотрен метод подбора, имеющий широкое практическое применение, метод квазирешения, а также метод замены исходного уравне­ния близким ему и метод квазиобращения. В качестве некорректно поставленной задачи мы будем рассматри­вать задачу решения уравнения

Az=u (2; 0,1)

относительноz, гдеu ÎU, z ÎF, U и F—метрические пространства. Оператор А отображаетF на U. Предпо­лагается, что существует обратный оператор А ^-1 , но он не является, вообще говоря, непрерывным.

Уравнение (2; 0,1) с оператором А, обладающим ука­занными свойствами, будем называть операторным урав­нением первого рода, или, короче,— уравнением пер­вого рода.

2.1. Метод подбора решения некорректно поставленных задач

2.1.1. Широко распространенным в вычислительной практике способом приближенного решения уравнения (2;0,1) является метод подбора. Он состоит в том, что для элементов z некоторого заранее заданного подклас­са возможных решений М (М ÎF) вычисляется опера­торAz, т. е. решается прямая задача. В качестве при­ближенного решения берется такой элемент z₀ из мно­жества М, на котором невязкаr_U (Az,u ) достигает мини­мума, т. е.

r_U (Az₀ ,u ) = inf r_U (Az,u )

zÎM

Пусть правая часть уравнения (2;0,1) известна точ­но, т. е. и =u_T , и требуется найти его решение z_T . Обычно в качестве М берется множество элементов z, зависящих от конечного числа параметров, меняющихся в ограниченных пределах так, чтобы М было замкнутым множеством конечномерного пространства. Если искомое точное решение z_T уравнения (2; 0,1) принадлежит мно­жеству М, то и достигается эта нижняя граница на точном решении z_T . Если уравнение (2;0,1) имеет единственное решение, то элемент z₀ , минимизирующий r_U (Az,и), определен однозначно.

Практически минимизация невязки r_U (Az,и ) произ­водится приближенно и возникает следующий важный вопрос об эффективности метода подбора, т. е. о возмож­ности как угодно приблизиться к искомому точному ре­шению.

Пусть {z_n } — последовательность элементов, для ко­торой r_U (Az_n ,u) ®0 при n®¥. При каких условиях можно утверждать, что при этом и r_F (z_n ,z_T ) ®0, т. е. что {z_n } сходится к z_T ?

Это вопрос обоснования эффективности метода подбора.

2.1.2. Стремление обосновать успешность метода подбора привело к установлению общефункциональных требова­ний, ограничивающих класс возможных решений М, при которых метод подбора является устойчивым и z_n ®z_T . Эти требования заключаются в компактности мно­жества М и основываются на приводимой ниже извест­ной топологической лемме.

Лемма.Пусть метрическое пространство F отобра­жается на метрическое пространство U и Uo — образ мно­жества Fo, FoÌF, при этом отображении. Если отобра­жение F®U непрерывно, взаимно однозначно и множест­во Fo компактно на F, то обратное отображение Uo®Fo множества Uoна множество Fo также непрерывно по мет­рике пространства F.

Доказательство. Пусть z — элементы множества F (zÎF), а u—элементы множества U (uÎU). Пусть функция u=j(z) осуществляет прямое отображение F®U, а функция z=y(u)—обратное отображение U®F.

Возьмем произвольный элемент u₀ из Uo. Покажем, что функция y(u) непрерывна на u₀ . Предположим, что это неверно. Тогда существует такое число e₁ > 0, что для всякого d > 0 найдется элемент и ¹ из Uo, для которого r_U (и ¹ , и ₀ ) < d, в то время как r_F (z¹ ,z₀ )>= e₁ . Здесь z=y(u¹ ), z₀ =y(u₀ ) и z¹ ÎFo, z₀ ÎF₀ .

Возьмем последовательность {d_n } положительных чи­сел d_n , сходящуюся к нулю при п ®¥. Для каждого d_n найдется элемент u_n ¹ из Uo, для которого r_U (и _n ¹ , и ₀ ) < d_n , но r_F (z_n ¹ ,z₀ )>= e₁ , где z_n ¹ =y(u_n ¹ ). Очевидно, последова­тельность {u_n ¹ } сходится к элементу u₀ . Так как z_n ¹ при­надлежат компактному на F множеству Fo, то из после­довательности {z_n ¹ } можно выбрать подпоследовательность {Z¹ n_k }, сходящуюся по метрике F к некоторому элементу z₀ ÎF. При этом z₀ ¹ ¹z₀ , так как для всякого n_k r_F (Z¹ n_k ,z₀ )>= e₁ , следовательно и r_F (z¹ ₀ ,z₀ )>= e₁ . Этой подпоследовательности {Z¹ n_k } отвечает последователь­ность элементов u¹ n_k = j (Z¹ n_k ) из Uo, сходящаяся к u¹ ₀ = j(z¹ ₀ ) и являющаяся подпоследовательностью по­следовательности { u¹ _n }. Так как последовательность { u¹ _n } сходится к и ₀ =j(z₀ ), то u¹ ₀ =j(z¹ ₀ )=u₀ =j(z₀ ) , т. е. j(z₀ )= j(z¹ ₀ ). В силу взаимной однозначности отоб­ражения F ®U z¹ ₀ =z₀ , что противоречит ранее установ­ленному неравенству z¹ ₀ ¹z₀ . Лемма доказана.

Эту лемму можно сформулировать короче.

Если отображение Fo-Uo компакта Fo на множество Uo взаимно однозначно и непрерывно, то обратное отобра­жение Uo-Fo также непрерывно.

Эквивалентность этих формулировок следует из того, что замыкание F^* ₀ множества Fo, компактного наF, явля­ется компактом.

Таким образом, минимизирующая последовательность {z_n } в методе подбора сходится к z_T при n-¥, если: