Реферат: Методы решения некорректно поставленных задач

а последняя — к решению отвечающего ему уравнения ЭйлераA*Az +bz=А*и. Подставляя сюда z в виде ряда (2; 2,9) и используя разложение (2; 2,2), находим

Параметр b определяем из условия || z ||² =R² , которое эквивалентно (2; 2,6).

2.3. Приближенное нахождение квазирешений

В предыдущем параграфемы видели, что нахождение квазирешения связано с нахождением элемента в беско­нечномерном пространстве. Для приближенного нахожде­ния квазирешения естественно переходить к конечномер­ному пространству. Можно указать достаточно общий под­ход к приближенному нахождению квазирешений урав­нения (2; 0,1) , в котором А—вполне непре­рывный оператор.

Будем полагать, что выполнены указанные в 2.2. дос­таточные условия существования единственного квазире­шения на заданном множестве М, т. е. полагаем, что множество М — выпуклый компакт и сфера в пространст­ве U строго выпукла. Пусть

M₁ Ì M₂ Ì...Ì M_n Ì...

— возрастающая цепочка компактных замкнутых множеств М _n такая, что замыкание их объединения совпадает с М. Квазирешение уравнения (2; 0,1) сущест­вует на каждом множестве М _n . Но оно может быть не единственным. Обозначим через Т _n совокупность всех квазирешений на множестве М _n .

Покажем, что в качестве приближения к квазиреше­нию z¹ на множестве М можно брать любой элемент z¹ _n из Т _n . При этом

Пусть N_n = АМ _n и В _n — множество проекций элемен­та и на множествоN_n . Очевидно, что В _n =АТ _n и N₁ Í N₂ Í …Í N_n ; тогда

r_U (u,N₁ )>= …>=r_U (u,N_n )>=… r_U (u,N)= r_U (u,Az¹ ) .(2;3,1)

Так как множествовсюду плотно на N, тодлявсякого e >0 найдется такое число n₀ (e), что для всех п > n₀ (e)

r_U (u,N_n )<r_U (u,N)+e (2; 3,2)

Из (2; 3,1) и (2; 3,2) следует, что

(2;3,3)

Поскольку то

(2;3,4)

Каждое множествоВ _n есть компакт, так как оно является замкнутым подмножеством компактаN_n . ПоэтомувВ _n найдется такой элемент у_n , что

r_U (y_n ,u) = inf r_U (y,u)

yÎB_n

Последовательность {y_n } имеет хотя бы одну пре­дельную точку, принадлежащуюN, так как N — компакт. Пусть у ₀ — какая-нибудь предельная точка множества {y_n } и {уn_k } — подпоследовательность, сходящаяся к y₀ , т. е.

Из (2; 3,3) и (2; 3,4) следует, что

Таким образом,

r_U (u,y₀ )=r_U (u,N).

Отсюда и из единственности квазирешения на множестве М следует, что

y₀ =Az¹ .

Так как у ₀ — произвольная предельная точка множества {y_n }, то последовательность {у_n } сходится к А z¹ . Это и означает,что в качестве приближения к квазирешению мож­но брать любой элемент z¹ _n из множества Т_п , так как в силу леммы параграфа 2.1. z¹ _n -z* при n-¥.

Если в качестве М_п брать конечномерные (n-мерные) множества, то задача нахождения приближенного квази­решения на компакте М сводится к минимизации функ­ционалаr_U (Az,u) на множестве М_п , т. е. к нахождению минимума функции п переменных.

2.4. Замена уравнения А z = u близким ему