Реферат: Методы решения некорректно поставленных задач

Обратная задача состоит в нахождении функции j(х)по известной функции u(х,t; j). В реальных задачах функция u(x,t;j) обычно получается в результате изме­рений и, следовательно, известна приближенно. Будем по­лагать, что uÎL₂ . Такая функция может и не соответст­вовать никакой «начальной» функции j(х). Таким обра­зом, может не существовать в классе функций С решения обратной задачи. Поэтому будем рассматривать задачу нахождения некоторого обобщенного решения обратной задачи.

Пусть заданы число T > 0 и функция y(x), опреде­ленная в областиD, y(x) ÎL₂ . На функциях j(х) класса С определен функционал

Обобщенным решением обратной задачи будем называть функцию j(х)., на которой достигается

f₀ =inf f(j)

jÎC

Замечание. «Естественный» подход к решению этой задачи — выбрать функцию j(х).так, чтобы f(j)=0 .

Для этого достаточно найти решение прямой задачи

u(x, t) = 0 для х Î S, 0 < t <T;

u(x,T) = y(x)

и положить j (x) = u(x,0). Но такая задача при задан­ной функции y(x) из L₂ , вообще говоря, неразрешима и, кроме того, неустойчива к малым изменениям функ­ции y(x).

На некотором классе обобщенных функций j (x) f₀ =0 . Поэтому рассматривается задача на­хождения приближенного значения f₀ с заданным уровнем погрешности.

Для заданного числаe > 0найти функциюj_e (x), на которойf(j_e )<=e.

Эта задача и решается методом квазиобращения.

Идея метода квазиобращения состоит в том, что вмес­то оператора теплопроводности находится «близ­кий» ему оператор В _a , для которого задача с обращением отсчета времени

B_a u_a = 0,xÎD, t < Т, a > 0;

u_a (x,T)= y(x);

u_a (x,t)= 0 ?