Реферат: Методы решения некорректно поставленных задач

ПустьF ºU ºН — гильбертовы пространства, А — линейный, ограниченный, положительный и самосопря­женный оператор,S_R º {х, ||x||<=R,xÎF} есть шар радиуса R в пространстве F, В — вполне непрерывный оператор, определенный на S_R при любом R > 0. В ка­честве класса корректности М берется множество D_R =BS_R — образ шара S_R при отображении с помощью оператора В. Предполагается, что искомое точное решение z_T уравнения (2; 0,1) с правой частью u=u_T существует и принадлежит множеству D_R . Уравнение (2; 0,1) заме­няется уравнением

(A+aE)z º Az+az=u , (2:4,1)

где a>0 – числовой параметр. Решение уравнения

z_a =(A+aE)^-1 u , (2; 4,2)

при соответствующем выборе параметра a, принимается за приближенное решение уравнения (2; 0,1). Здесь Е — единичный оператор.

Замечание. Для оценки уклонения r_F (z_T ,z_d ) приближенного решения от точного можно использовать мо­дуль непрерывности w обратного оператора на N.

Пусть u₁ , u₂ Î N иr_U (u₁ ,u₂ )<=d. Тогда

w(d,N)= sup r_F (A^-1 u₁ ,A^-1 u₂ ).

u₁ ,u₂ ÎN

Очевидно, что еслиr_U (u_T ,u_d )<=dи z_d =A^-1 u_d , то

r_F (z_T ,z_d )<=w(d,N).

Вернемся к уравнению (2; 4,1). Если || Az ||<=d и w(d,D_R ) = sup|| z ||, то легко

D_R

получить оценку уклонения z_a от z_T . Очевидно, что

|| z_a - z_T ||<=||z_a ¹ - z_T || + ||z_a - z_a ¹ ||, (2;4,3)

где

z_a ¹ =(A + aE)^-1 u_T .

Следовательно,

||z_a - z_T ||<=w(d,D_R ) + d/a. (2;4,4)

Если известен модуль непрерывности w(d,D_R ) или его мажоранта, то из (2; 4,4) можно найти значение пара­метра wкак функцию d, при котором правая часть в не­равенстве (2; 4,4) будет минимальной.

2. 5. Метод квазиобращения

2.5.1. Известно, что задача Коши для уравнения тепло­проводности с обратным течением времени является не­устойчивой к малым изменениям начальных значений. Неустойчивость сохраняется и в случаях, когда решение подчиняется некоторым дополнительным граничным усло­виям. Для устойчивого решения таких задач разработан метод квазиобращения . Мы изложим существо его для простейшего уравнения теплопроводности, не вда­ваясь в вопросы обоснования. Подробное изложение в применении к более широкому классу задач содержится в .

2.5.2. Рассмотрим прямую задачу. ПустьD — конечная область n-мерного евклидова пространства Rⁿ точек x = (x₁ ,x₂ , ..., x_n ), ограниченная кусочно-гладкой по­верхностью S, a t — время. Пусть, далее, j(x) — заданнаянепрерывная в D функция. Прямая задача состоит в на­хождении решения u= u (x,t) уравнения

(2;5,1)

в областиG º{xÎ D, t > 0}, удовлетворяющего гранич­ным условиям

u(х, t) =0 при xÎS(2; 5,2)

и начальным условиям

u (x, 0)= j(x). (2; 5,3)

Здесь