Реферат: Методы решения некорректно поставленных задач

б) множество М — компакт.

Пусть оператор А непрерывен и вместо точной правой части u_T мы имеем элемент u_d такой, что r_U (u_d ,u_T )<= d, причем u_d принадлежит множествуAM (образу множест­ва М при отображении его с помощью оператора A) и М есть компакт. Пусть {d_n } — последовательность поло­жительных чисел таких, что d_n -0 при n-оо. Для каж­дого п методом подбора можно найти такой элемент z^d _n , что r_U (A z^d _n ,u_d )<=d_n . Элементы z^d _n будут близки к ре­шению z_T уравненияAz=u_T . В самом деле, при отобра­жении с помощью непрерывного оператора образAM компакта М есть компакт и, следовательно, по лемме обратное отображение, осуществляемое оператором A^-1 , непрерывно наAM. Так как

r_U (A z^d _n ,u)<=r_U (A z_n ,u_d )+r_U (u_d ,u_T ),

то

r_U (A z^d _n ,u_T )<=d_n +d=g^d _n .

Из этого неравенства и из непрерывности обратного отображения АМ - М следует, что r_F (z^d _n ,z_T )<= e(g^d _n ) , причем e(g^d _n )-0 приg^d _n -0. Таким образом, при нахож­дении приближения z^d _n к z_T надо учитывать уровень по­грешности d правой части u_d .

2.1.3. На основе изложенных соображений М. М. Лав­рентьев сформулировал понятие корректности по Тихонову. В применении к уравнению (2; 0,1) задача на­зывается корректной по Тихонову, если известно, что для точного значения u=u_T существует единственное реше­ние z_T уравнения (2; 0,1), Az_T =u_T, принадлежащее за­данному компакту М. В этом случае оператор А ^-1 непре­рывен на множествеN=AM и, если вместо элемента u_T нам известен элемент u_d такой, что r_U ( u_T , u_d )<=dи u_d ÎN, то в качестве приближенного решения уравнения (2; 0,1) с правой частью u= u_d можно взять элемент z_d =A^-1 u_d .При d-0(u_d ÎN) z_d будет стремиться к z_T . МножествоF₁ (F₁ ÌF), на котором задача нахождения решения уравнения (2; 0,1) является корректно постав­ленной, называют классом корректности. Так, если опера­торА непрерывен и осуществляет взаимно однозначное отображение, то компакт М, к которому принадлежит z_T , является классом корректности для уравнения (2; 0,1). Таким образом, если задача (2; 0,1) корректна по Тихо­нову и правая часть уравнения uÎAM, то метод подбора с успехом может быть применен к решению такой задачи. На первый вопрос дан исчерпывающий ответ.

Рассмотрим задачу решения интегрального уравнения Фредгольма первого рода

(2;1,1)

на множестве М ₁ монотонно убывающих (возрастающих) и равномерно ограниченных функций |z(s)|<=B. Она корректна по Тихонову, так как множествоM₁ — компакт в пространстве L₂ .

Действительно, возьмем любую последовательность E= {z₁ (s), z₂ (s), .... z_n (s), ...} изM₁ . Согласно теореме Хелли о выборе существуют подпоследовательность

E₁ = {Zn₁ (s), Zn₂ (s), ...,Zn_k (s), ...},

последовательности Е и функция z*(s) из множества M₁ , z*(s) ÎL₂ , такие, что

всюду, кроме, может быть, счетного множества точек разрыва функции z*(s). Из поточечной сходимости под­последовательности Е ₁ к функции z*(s) всюду, кроме, может быть, счетного множества точек, следует, какизвестно, сходимость подпоследовательности E₁ к функ­ции z*(s) по метрике L₂ .

Таким образом, в качестве приближенного решения на множестве М₁ уравнения (2; 1,1) с приближенно извест­ной правой частью u¹ ÎАМ ₁ можно брать точное решение этого уравнения с правой частью u=u¹ . Эта послед­няя задача эквивалентна задаче нахожде­ния на множествеM₁ функции, минимизирующей функ­ционал

N[z,u¹ ]=|| A₁ z – u¹ ||² _L2 .

Пусть r_U (u_T , u¹ )<= d. Тогда, очевидно, в качестве при­ближенного решения уравнения (2; 1,1) можно брать функцию z_d , для которой

|| A₁ z_d – u¹ ||² _L2 <= d² . (2;1,2)

Если заменить интегральный оператор A₁ z интеграль­ной суммой на фиксированной сетке с n узлами и обозна­чить значения искомой функции в узловых точках через z_i , то задача построения приближенного решения уравне­ния (2; 1,1) сведется к задаче нахождения конечномер­ного вектора, минимизирующего функционалN[z, и ¹ ] и удовлетворяющего неравенству (2; 1,2).

В ряде других случаев компактные классы коррект­ности можно указать эффективно, что дает возможность строить устойчивые приближенные решения.

2.1.4. В силу погрешности исходных данных элемент и может не принадлежать множествуAM. В этих условиях уравнение (2; 0,1) не имеет решения (классического) и возникает вопрос: что надо понимать под приближенным решением уравнения (2; 0,1)?

В этом случае вводится понятие квазирешения и метод подбора при условии компактности множества М позво­ляет найти приближение к квазирешению. В следующемпараграфе вопрос о квазирешении рассматривается под­робнее.

2.2. Квазирешения

2.2.1. Пусть оператор А в уравнении (2; 0,1) — вполне непрерывный. Построение устойчивого к малым измене­ниям правой части и приближенного решения уравнения (2; 0,1) по формуле

z=A^-1 u (2; 2,1)

возможно в тех случаях, как отмечалось в 2.1. , когда ре­шение ищется на компакте М ÌF и правая часть уравне­ния принадлежит множеству N =AM.

Обычно не существует эффективных критериев, поз­воляющих установить принадлежность элемента и множеству N. Это приходится предполагать известным априори. В практических задачах часто вместо точного значения правой части и _T нам известно ее приближенное значение u¹ , которое может не принадлежать множеству N =AM. В этих случаях нельзя строить приближенное решение уравнения (2; 0,1) по формуле (2; 2,1), так как сим­вол А^-1 u может не иметь смысла.

2.2.2. Стремление устранить затруднения, связанные с от­сутствием решения уравнения (2; 0,1) при неточной правой части, привело В. К. Иванова к понятию квазирешения уравнения (2; 0,1) — обобщению понятия решения этого уравнения.

Элемент z¹ ÎМ, минимизирующий при данном и функ­ционалr_U (Az¹ ,и) на множестве М, называется квазиреше­нием уравнения (2; 0,1) на М,