Реферат: Многочлены Лежандра, Чебышева и Лапласа

2. Многочлены Чебышева

Многочлены Чебышева — две последовательности многочленов T_n (x ) и U_n (x ), названные в честь Пафнутия Львовича Чебышева.
Многочлены Чебышева играют важную роль в теории приближений, поскольку корни многочленов Чебышева первого рода используются в качестве узлов в интерполяции алгебраическими многочленами.

Многочлен Чебышева первого рода T_n (x ) характеризуется как многочлен степени n со старшим коэффициентом 2^{n - 1} , который меньше всего отклоняется от нуля на интервале [ − 1,1]. Впервые рассмотрены самим Чебышёвым.

Многочлены Чебышева первого рода T_n (x ) могут быть определены с помощью рекуррентного соотношения:

Многочлены Чебышева первого рода могут быть также определены с помощью равенства:

или, что почти эквивалентно,

Несколько первых многочленов Чебышева первого рода

Многочлены Чебышева обладают следующими свойствами:

Ортогональность по отношению к соответствующим скалярному произведению (с весом для многочленов первого рода и для многочленов второго рода).

Среди всех многочленов, значения которых на отрезке [ − 1,1] не превосходят по модулю 1, многочлен Чебышева имеет: наибольший старший коэффициент наибольшее значение в любой точке за пределами [ − 1,1] если , то , где t_k — коэффициент многочлена Чебышева первого рода, a_k — коэффициент любого из рассматриваемых полиномов.