Реферат: Многочлены Лежандра, Чебышева и Лапласа

-положительном координатном угле пространства Rⁿ . Если функция f(t) ограничена в C^* , то интеграл (9) существует во всех точках удовлетворяющих условию Re ( p , t )>0 , , которое определяет снова положительный координатный угол

Интеграл (9) определяет голоморфную функцию комплексных переменных p = ( p ₁ ,- p_n ) в трубчатой области пространства с основанием S. В более общем случае в качестве области интегрирования в (9) и основания Sтрубчатой области можно взять любую пару сопряженных замкнутых выпуклых острых конусов в пространстве с вершиной в начале координат. При n=1 формула (9) переходит в (6), причем - положительная полуось и - правая полуплоскость. Преобразование Лапласа (9) определено и голоморфно и для функций f(t) гораздо более широких классов. Элементарные свойства преобразования Лапласа с соответствующими изменениями остаются справедливыми и для многомерного случая.

Численное преобразование Лапласа - численное выполнение преобразования (6), переводящего оригинал f ( t ), 0< t <∞ в изображение F(p), , а также численное обращение преобразования Лапласа, т. е. численное нахождение f(t) из интегрального уравнения (6) либо по формуле обращения (8).

Необходимость применения численного преобразования Лапласа возникает вследствие того, что таблицы оригиналов и изображений охватывают далеко не все встречающиеся в практике случаи, а также вследствие того, что оригинал или изображение зачастую выражаются слишком сложными, неудобными для применений формулами.

Проблема обращения преобразования Лапласа, как задача отыскания решения f(x) интегрального уравнения первого рода (6), относится к классу некорректных задач и может быть решена, в частности, посредством регуляризирующего алгоритма.

Задачу численного обращения преобразования Лапласа можно также решать методами, основанными на разложении функции-оригинала в функциональный ряд. Сюда в первую очередь можно отнести разложение в степенной ряд, в обобщенный степенной ряд, в ряд по показательным функциям, а также в ряды по ортогональным функциям, в частности по многочленам Чебышева, Лежандра, Якоби и Лагерра. Задача разложения оригинала в ряды по многочленам Чебышева, Лежандра, Якоби в окончательном своем виде сводится к проблеме моментов на конечном промежутке. Пусть известно преобразование Лапласа F(p) функции β( t ) f ( t ):

где f(t) - искомая функция, а β(t) - неотрицательная, интегрируемая на [0,∞) функция. Предполагается, что функция f(t) интегрируема на любом конечном отрезке [0, Т] и принадлежит классу L ₂ (β( t ), 0, ∞). По изображению F(р).функции β(t), f(t), функция f(t) строится в виде ряда по смещенным многочленам Якоби, в частности по смещенным многочленам Лежандра, Чебышева первого и второго рода, коэффициенты которого a_k вычисляются по формуле.

где - коэффициенты смещенного многочлена Лежандра, Чебышева первого и второго рода соответственно, записанных в виде

Другим приемом численного обращения преобразования Лапласа является построение квадратурных формул для интеграла обращения (8).

4. Обращение преобразования Лапласа с помощью многочленов, ортогональных на конечном промежутке

4.1 Постановка задачи

Задачу преобразования Лапласа можно решать методами, основанными на разложении оригинала в ряды по ортогональным функциям, в частности по многочленам Чебышева, Лежандра и Якоби.Эта задача, которая в окончательном своем виде сводится к проблеме моментов на конечном промежутке, была подвергнута изучению в работах многих авторов.

Рассмотрим постановку этой задачи в таком виде, как это сделано в работах В.М. Амербаева и в книге В.А. Диткина и А.П. Прудникова [2].

Пусть известно преобразование Лапласа F ( p ) функции β( t ) f ( t ):

(10)

Где f(t ) – искомая функция, а β(t ) – неотрицательная, абсолютно интегрируемая на [0,∞) функция. Предположим, что функция f(t ) интегрируема на любом конечном отрезке [0, Т] и принадлежит классу L ₂ (β( t ), 0, ∞):

(11)

Требуется по изображению F(р ) функции β(t)f(t), построить функцию f(t ).

В интеграле (10) введем замену переменной x = e ^{- t} ; тогда он приведется к виду

(12)

где

В силу условий, которые наложены на функции f(t ) и β(t ), интеграл (12) сходится всюду в плоскости Re p ≥,0, поэтому переменной р можно придать значения 0, 1, 2, … и получить «взвешенные моменты» функции

(13)

После этого решаемую задачу можно сформулировать так: найти функцию по ее «взвешенным моментам» , или, что тоже самое, найти функцию f(t ) по значениям изображения функции β(t)f(t) в целочисленных точках p = k ( k = 0, 1, 2, …). В частном случае эту задачу можно упростить и по первым п + 1 « взвешенным моментам» искать многочлен , такой, чтобы его «взвешенные моменты» совпадали с заданными моментами функции , то есть чтобы выполнялись равенства