Реферат: Многочлены Лежандра, Чебышева и Лапласа

3.

4. Преобразование Лапласа

Преобразование Лапласа — интегральное преобразование, связывающее функцию комплексного переменного (изображение) с функцией действительного переменного (оригинал). С его помощью исследуются свойства динамических систем и решаются дифференциальные и интегральные уравнения.

Одной из особенностей преобразования Лапласа, которые предопределили его широкое распространение в научных и инженерных расчётах, является то, что многим соотношениям и операциям над оригиналами соответствуют более простые соотношения над их изображениями. Так, свёртка двух функций сводится в пространстве изображений к операции умножения, а линейные дифференциальные уравнения становятся алгебраическими.

Интеграл Лапласа имеет вид:

(5)

где интегрирование производится по некоторому контуру L_в плоскости комплексного переменного z, ставящий в соответствие функции f(z), определенной на L, аналитическую функцию F(p) комплексного переменного p=s+it. Многие интегралы вида (5) были рассмотрены П. Лапласом.

В узком смысле под преобразованием Лапласа подразумевают одностороннее преобразование Лапласа

, (6)

называемое так в отличие от двустороннего преобразования Лапласа

(7)

Преобразование Лапласа – частный вид интегральных преобразований;. преобразования вида (6) или (7) тесно связаны с Фурье преобразованием. Двустороннее преобразование Лапласа (7) можно рассматривать как преобразование Фурье функции , одностороннее преобразование Лапласа (6) - как преобразование Фурье функции j(t) равной при 0 < t < ∞ и равной нулю при -∞ < t < 0.

Подынтегральная комплексная локально суммируемая функция f(t) называется функцией-оригиналом, или просто оригиналом; в приложениях часто удобно трактовать переменное t как время. Функция F(p)=L[f], (р) называется также преобразованием Лапласа оригинала f(t) или изображением по Лапласу. Интеграл (6) понимается, вообще говоря, как условно сходящийся на бесконечности.

Априори возможны три случая:

1) существует действительное число такое, что интеграл (6) сходится при , а при – расходится; это число σ_с называется абсциссой (условной) сходимости;

2) интеграл (6) сходится при всех р, в этом случае полагают ;

3) интеграл (6) расходится при всех р, в этом случае полагают

Если , то интеграл (6) представляет однозначную аналитическую функцию F(p) в полуплоскости сходимости . Обычно ограничиваются рассмотрением абсолютно сходящихся интегралов (6). Точная нижняя грань тех s, для которых существует интеграл , называется абсциссой абсолютной сходимости

Если а – есть нижняя грань тех s, для которых число а иногда называют показателем роста оригинала f(t).

При некоторых дополнительных условиях оригинал f(t) однозначно восстанавливается по своему F(p). Например, если f(t) имеет ограниченную вариацию в окрестности точки t₀ или если f(t) кусочногладкая, то имеет место формула обращения преобразования Лапласа:

(8)

Формулы (6) и (8) позволяют получить ряд соотношений между операциями, производимыми над оригиналами и изображениями, а также таблицу изображений для часто встречающихся оригиналов. Все это составляет элементарную часть операционного исчисления.

В математической физике важные применения находит многомерное преобразование Лапласа:

(9)

где t = ( t ₁ , ……, t_n )

-точка re-мерного евклидова пространства

Rⁿ , p = ( p ₁ , ……, p_n ) = σ + iτ = ( σ ₁ , ……, σ _n ) + (τ₁ , ……, τ _n )

-точка комплексного пространства

Cⁿ , n ≥1, ( p , t ) = ( σ , t )+ i ( τ , t ) = p ₁ t ₁ + … + p_n t_n