Реферат: Многочлены Лежандра, Чебышева и Лапласа
В вычислениях удобнее пользоваться тригонометрической записью многочленов 
, а именно:
Сделав замену переменной 2 x – 1 = cosθ (0≤θ≤π) и учитывая, что 
разложение (18) можно переписать в виде:
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Одним из наиболее мощных средств решения дифференциальных уравнений, как обыкновенных, так, особенно, в частных производных, является метод интегральных преобразований.
Преобразования Фурье, Лапласа, Ганкеля и другие применяются для решения задач теории упругости, теплопроводности, электродинамики и других разделов математической физики.
Преобразование Лапласа — интегральное преобразование, связывающее функцию 
комплексного переменного (изображение) с функцией 
действительного переменного (оригинал). С его помощью исследуются свойства динамических систем и решаются дифференциальные и интегральные уравнения.
Одной из особенностей преобразования Лапласа, которые предопределили его широкое распространение в научных и инженерных расчётах, является то, что многим соотношениям и операциям над оригиналами соответствуют более простые соотношения над их изображениями.
Интеграл Лапласа имеет вид:
где интегрирование производится по некоторому контуру Lв плоскости комплексного переменного z, ставящий в соответствие функции f(z), определенной на L, аналитическую функцию F(p) комплексного переменного p=s+it.
Численное преобразование Лапласа - численное выполнение преобразования
,
переводящего оригинал f ( t ), 0< t <∞ в изображение F(p), 
, а также численное обращение преобразования Лапласа.
Необходимость применения численного преобразования Лапласа возникает вследствие того, что таблицы оригиналов и изображений охватывают далеко не все встречающиеся в практике случаи, а также вследствие того, что оригинал или изображение зачастую выражаются слишком сложными, неудобными для применений формулами.
Задачу численного обращения преобразования Лапласа можно также решать методами, основанными на разложении функции-оригинала в функциональный ряд. Сюда в первую очередь можно отнести разложение в степенной ряд, в обобщенный степенной ряд, в ряд по показательным функциям, а также в ряды по ортогональным функциям, в частности по многочленам Чебышева, Лежандра, Якоби и Лагерра. Задача разложения оригинала в ряды по многочленам Чебышева, Лежандра, Якоби в окончательном своем виде сводится к проблеме моментов на конечном промежутке. Пусть известно преобразование Лапласа F(p) функции β( t ) f ( t ):
где f(t) - искомая функция, а β(t) - неотрицательная, интегрируемая на [0,∞) функция.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ван дер Поль Б., Бремер Х. Операционное исчисление на основе двустороннего преобразования Лапласа. — М.: Издательство иностранной литературы, 1952. — 507 с.
2. Диткин В.А., Прудников А. П. Интегральные преобразования и операционное исчисление. — М.: Главная редакция физико-математической литературы издательства «Наука», 1974. — 544 с.
3. Кожевников Н.И., Краснощекова Т. И., Шишкин Н. Е. Ряды и интегралы Фурье. Теория поля. Аналитические и специальные функции. Преобразования Лапласа. — М.: Наука, 1964. — 184 с.
4. Крылов В.И., Скобля Н.С. Методы приближенного преобразования Фурье и обращения преобразования Лапласа. – М.: Наука, 1974. – 226 с.