Реферат: Некоторые Теоремы Штурма

(i) Если и , - произвольные комплексные числа, то задача Коши для уравнения (2.2)

, (2.6)

имеет единственное решение, существующее при всех , см. лемму IV. 1.1.

(ii) В частном случае (2.1) уравнения (2.2) и при соответствующим единственным решением служит функция . Поэтому, если есть решение уравнения (2.1), то нули функции и (t) не могут иметь предельной точки в J.

(iii) Принцип суперпозиции. Если , - решения урав­нения (2.1), a , -постоянные, то функция является решением уравнения (2.1). Если - решение урав­нения (2.2), то функция также является решением уравнения (2.2) тогда и только тогда, когда функция удовлетворяет уравнению (2.1).

(iv) Если , - решения уравнения (2.1), то соответ­ствующие векторные решения системы (2.3) , линейно независимы (в каждой точке t ) тогда и только тогда, когда функции , линейно

независимы в том смысле, что равенство , где и - постоянные, влечет за собой .

(v) Если , - решения уравнения (2.1), то существует постоянная с, зависящая от и (t) и v (t) и такая, что для их врон­скиана W (t) = W (t; и, v) выполняется тождество

.(2.7)

Поскольку матричным решением системы (2.3) является

,

detX(t)=p(t)W(t) и trA(t )=0.

(vi) Тождество Лагранжа. Рассмотрим пару уравнений

, , (2.8)

где f=f(t), g =g (t) - непрерывные функции на J. Если умножить второе уравнение на и, первое-на v и результаты вычесть, мы получим, что

, (2.9)

так как . Соотношение (2.9) назы­вается тождеством Лагранжа. Его интегральная форма

(2.10)

где , называется формулой Грина.

(vii) В частности, из (v) следует, что и(t) и v(t) - линейно независимые решения уравнения (2.1) тогда и только тогда, когда в (2.7) . В этом случае всякое решение уравнения (2.1) является линейной комбинацией функций и(t) и v (t ) с посто­янными коэффициентами.

(viii) Если (например, ), то вронскиан любой пары решений и(t), v(t) уравнения (2.1) равен постоянной .

(ix) В соответствии с результатами общей теории, в случае, когда известно одно решение уравне­ния (2.1), отыскание других решений v(t) этого уравнения (по край­ней мере локально) сводится к решению некоторого скалярного дифференциального уравнения первого порядка. Если на подинтервале , этим уравнением служит уравнение (2.7), где и - известная функция, а v - искомая. Если поделить (2.7) на , то это уравнение запишется в виде

, (2.11)

а после интегрирования мы будем иметь

, (2.12)

где а, . Легко проверить, что если , - произвольные постоянные и а, , то функция (2.12) является решением уравнения (2.1), удовлетворяющим (2.7) на любом интервале J', где .

(х) Пусть и(t), v(t) - решения уравнения (2.1), удовлетворяю­щие (2.7) с . При фиксированном решением уравнения (2.1), удовлетворяющим начальным условиям и (s) = 0, p(s)u'(s) = 1, является . Поэтому решением урав­нения (2.2), удовлетворяющим условиям , слу­жит функция

; (2.13)

(проще проверить это непосредственно). Общее решение уравнения (2.2) получается прибавлением к (2.13) общего решения уравнения (2.1), что дает