Реферат: Некоторые Теоремы Штурма

Если m>1/4, то корни l₁ и l₂ – комплексные, т.е.

u=t^1/2 [cos (m-1/4 ln t)c₁ +c₂ sin(m-1/4 ln t)]

имеют бесчисленное множество нулей. В частности, если положить:

c₁ =sinu ,c₂ =cosu,

то получим:

u= t^1/2 [sin u cos (m-1/4 ln t)+cos u sin (m-1/4 ln t)]=

t^1/2 [sin (u+m-1/4 ln t)].

Если m<1/4, то решение

u=с₁ t^1/2+ +c₂ t^1/2-

имеют не более одного нуля.

Так же, если m=1/4, то решение

u=c₁ t^1/2 +c₂ t^1/2 ln t

имеют не более одного нуля.

d) Рассмотрим уравнение Бесселя:

v¢¢+v¢/t+(1-m² /t² )v=0, (3.10)

где m-вещественный параметр. Вариация постоянных u=t^1/2 /v переводит уравнение (3.10) в уравнение:

u¢¢+(1-a/t² )u=0, где a=m² -1/4 (3.11)

Проверим истинность этого утверждения u=t^1/2 v, следовательно:

v=u/t^1/2 =ut^-1/2.

Найдём первую производную:

v¢=(ut^-1/2 ) ¢=u¢t^-1/2 +u(t^-1/2 )¢=u¢t^-1/2 -1/2ut^-3/2 .

Теперь вторую производную:

v¢¢=(u¢t^1/2 ) ¢-1/2(ut^-3/2 ) ¢=u¢¢t^-1/2 +u¢(t^-1/2 ) ¢-1/2(u¢t^-3/2 +u(t^-3/2 ) ¢)=

=u¢¢t^-1/2 –1/2u¢t^-3/2 -1/2u¢t^-3/2 +3/4uut^-5/2 =

=u¢¢t^-1/2 -u¢t^-3/2 +3/4ut^-5/2 .

Подставляя в уравнение (3.10), получим:

v¢¢+v¢/t+(1-m² /t² )v=0.

u¢¢t^-1/2 -u¢t^-3/2 +3/4ut^-5/2 +1/t(u¢t^-1/2 -1/2ut^-3/2 )+(1-m² /t² )ut^-1/2 =0

t^-1/2 (u¢¢-u¢t^-1 +3/4ut^-2 +u¢t^-1 -1/2ut^-2 +u(1-m² /t² ))=0