Реферат: Некоторые Теоремы Штурма

Лемма 3.1. Пусть - вещественное решение уравне­ния (2.1) при , где и вещественны и непре­рывны. Пусть функция и (t) имеет в точности нулей при . Предположим, что - непрерывная функция, определенная равенством (2.42), и . Тогда и при .

Доказательство. Заметим, что в той точке t, где u=0 , т. е. где , производная в силу (2.43). Следовательно, функция возрастает в окрестности точек, где для некоторого целого j . Отсюда следует, что если и , то при , а также что если , то при . Тем самым лемма дока­зана.

В теоремах этого параграфа будут рассматриваться два урав­нения

где функции вещественны и непрерывны на интервале J. и

. (3.2)

В этом случае уравнение (3.1) называется мажорантой Штурма для (3.1) на J, а уравнение (3.1)-минорантой Штурма для (3.1). Если дополнительно известно, что соотношения

(3.3₂ )

или

и (3.3₁ )

выполняются в некоторой точке , то уравнение (3.3₂ ) назы­вается строгой мажорантой Штурма для (3.3₁ ) на J.

Теорема 3.1 (первая теорема сравнения Штурма). Пусть коэффициенты уравнения непрерывны на интервале J: , и пусть уравнение (3.3₂ ) является мажорантой Штурма для (3.1₁ ). Предположим, что функция является решением уравнения (3.1₁ ) и имеет точно нулей при ,а функция удовлетворяет уравне­нию (3.1₂ ) и

(3.4)

при . [Выражение в правой (соответственно левой) части нера­венства (3.4) при полагается равным , если (соответственно если ) ; в частности, соотношение (3.4) справедливо при , если .] Тогда имеет при пo крайней мере n нулей. Более того, имеет по крайней мере n нулей при , если при в (3.4) имеет место строгое неравенство или если уравнение (3.1 г) является стро­гой мажорантой Штурма для (3.1₁ ) при .

Доказательство. В силу (3.4) можно определить при пару непрерывных функций с помощью соотношений

(3.5)

Тогда справедливы аналоги соотношения (2.43):

(3.6_j )

Поскольку непрерывные функции , гладким образом зависят от , решения системы (3.6) однозначно определяются своими начальными условиями. Из (3.2) следует, что при и всех . Поэтому последняя часть (3.5) и следствие III.4.2 означают, что

для В частности, из следует, что , и первая часть теоремы вытекает из леммы 3.1.

Чтобы доказать последнюю часть теоремы, предположим вна­чале, что при в (3.4) имеет место строгое неравенство. Тогда . Обозначим через решение уравнения (3.6₂ ), удовлетворяющее начальному условию , так что . Поскольку решение уравнения (3.6₂ ) однозначно определяется начальными условиями, при . Неравенство, аналогичное (3.7), означает, что потому . Следовательно, имеет n нулей при .

Рассмотрим теперь тот случай, когда в (3.4) имеет место равен­ство, но в некоторой точке из выполняется либо (3.3₁ ), либо (3.3₂ ). Запишем (3.6₂ ) в виде

,

где

Если доказываемое утверждение неверно, то из уже рассмотрен­ного случая следует, что при .Поэтому и при . Так как только в нулях функции , то отсюда следует, что при и .

Следовательно, если при некотором t, то , т. е. . Если (3.3₁ ) не выполняется ни при каком t из отрезка , то при некотором t имеет место (3.3₂ ), и потому (3.3₂ ) справедливо на неко­тором подинтервале из . Но тогда на этом интервале и потому . Однако это противоречит условию . Доказательство закончено.

Следствие 3.1 (теорема Штурма о разделении нулей). Пусть урав­нение (3.1₂ ) является мажорантой Штурма для (3.1₁ ) на интервале J, и пусть - вещественные решения уравнений, (3.3_j ). Пусть обращается в нуль в двух точках интер­вала J. Тогда имеет по крайней мере один нуль на . В частности, если и вещественные линейно независимые решения уравнения (3.1₁ ) (3.1₂ ). То нули функции разделяют нули функции и разделяются ими.

Заметим, что, последнее утверждение этой теоремы имеет смысл, поскольку нули функций и не имеют на J предельных точек. Кроме того, , не могут иметь общего нуля , так как в противном случае в силу того, что решения урав­нения (3.1₁ ) единственны, , где (так что и не являются линейно независимыми).