Реферат: Некоторые Теоремы Штурма

Предположим, что u₁ (t)>0 при t₁ <t₂ <t₃ и утверждение неверно: например, u₂ (t)>0 при t₁ £ t£t₂ . Умножая (p₁ (t)u¢)¢+q₁ (t)u=0, где u=u₁ , на u₂ , а (p₂ (t)u¢)¢+q₂ (t)u=0, где u=u₂ , на u₁ , вычитая и интегрируя по [t_1, t₂ ], получаем:

p(t)(u₁ ¢u₂ -u₁ u₂ ¢)³0, при t₁ £t£t₂ , где p=p₁ =p₂ . Это означает, что (u₁ /u₂ )¢³0; поэтому u₁ /u₂ >0 при t₁ <t£t₂ , т.е. получается, что u₁ (t₂ )>0 чего быть не может.

Решение:

(p₁ (t)u¢)¢+q₁ (t)u=0, u=u₁

(p₁ (t)u₁ ¢)¢+q₁ (t)u₁ =0.

Умножим левую часть равенства на u₂ , получим:

u₂ (p₁ (t)u₁ ¢)¢+q₁ (t)u₁ u₂ =0.

Во втором уравнении проделаем соответствующие операции:

(p₂ (t)u¢)¢+q₂ (t)u=0, u₂ =u

(p₂ (t)u₂ ¢)¢+q₂ (t)u₂ =0.

Умножим левую часть равенства на u₁ , получим:

u₁ (p₂ (t)u₂ ¢)¢+q₂ (t)u₁ u₂ =0.

Вычитаем из первого уравнения второе, получим:

u₂ (p₁ u₁ ¢)¢+q₁ u₁ u₂ -u₁ (p₂ u₂ ¢)¢-q₂ u₁ u₂ =0, p=p₁ =p₂

u₂ (pu₁ ¢)¢+q₁ u₁ u₂ -u₁ (pu₂ ¢)¢-q₂ u₁ u₂ =0

(u₂ (pu₁ ¢)¢-u₁ (pu₂ ¢)¢)+u₁ u₂ (q₁ -q₂ )=0

Упростим это уравнение,

u₂ (p¢u₁ ¢+pu₁ ¢¢)-u₁ (p¢u₂ ¢+pu₂ ¢¢)+u₁ u₂ (q₁ -q₂ )=0

Раскроем скобки, получим:

p¢u₁ ¢u₂ + pu₁ ¢¢u₂ - p¢u₁ u₂ ¢-pu₁ u₂ ¢¢+u₁ u₂ (q₁ -q₂ )=0.

Сравнивая с формулой (2.2), получаем:

(p(u₁ ¢u₂ -u₁ u₂ ¢))¢+u₁ u₂ (q₁ -q₂ )=0

(p(u₁ ¢u₂ -u₁ u₂ ¢))¢-u₁ u₂ (q₂ -q₁ )=0

(p(u₁ ¢u₂ -u₁ u₂ ¢))¢=u₁ u₂ (q₂ -q₁ )=0.

Проинтегрируем это уравнение по [t₁ ,t], получим:

[p(u₁ ¢u₂ -u₂ ¢u₁ )]¢dt = u₁ u₂ (q₂ -q₁ )dt, где

u₁ u₂ >0, q₂ -q₁ ³0. Значит p(u₁ ¢u₂ -u₁ u₂ ¢)³0.

Т.о.(u₁ /u₂ )¢³0 Þ u₁ /u₂ >0.

Упражнение 3.2. с) Проверьте, что вещественные решения u(t) ¹0 уравнения u¢¢+m/t² u=0 (1/17) имеет не более одного нуля при t>0, если m£, и эти решения имеют бесконечно много нулей при t>0, если m>. В последнем случае множество нулей имеет две предельные точки t=0 и t=¥.