Реферат: Об интегральных формулах Вилля-Шварца для трехсвязных областей и ее применение к краевым задачам

Решение обобщенной задачи Дирихле можно свести к решению обычной задачи Дирихле.

Можно доказать, что:

1. для любой односвязной области D и любой кусочно-непрерывной с точками разрыва первого рода граничной функции решение обобщенной задачи Дирихле существует.

2. решение обобщенной задачи Дирихле для единичного круга дается интегралом Пуассона

, , ) (2)

3. для произвольной области D , мы получим искомую формулу для решения обобщенной задачи Дирихле интегральной формулой Дж.Грина [12, 18]:

, (3)

где - производная в направлении внутренней нормали к С,

ds - элемент длины , соответствующей ,

- элемент внутренней нормали к , - фиксированная произвольная точка области D , а функция ; , реализующая отображение D на единичный круг и - функция Грина для области D , гармоническую всюду в D кроме точки , где имеет плюс.

Формула Грина (3) выражает решение задачи Дирихле для некоторой области D через логарифм конформного отображения D на единичный круг, т.е. сводит решение задачи Дирихле к задаче конформного отображения. И обратное верно.

Итак, задача конформного отображения области на единичный круг и задача Дирихле для той же области эквивалентны, они сводятся друг к другу с помощью простых операций дифференцирования и интегрирования.

в) Видоизмененная задача Дирихле.

Пусть S⁺ - связная область, ограниченная простыми замкнутыми непересекающимися гладкими контурами , из которых первый охватывает все остальные. Под L мы будем подразумевать совокупность этих контуров , (). Через - мы обозначим совокупность конечных областей заключенных, соответственно, внутри контуров и бесконечной области , состоящей из точек расположенных вне . На контуры мы наложим еще следующее условие: угол, составляемый касательной к с постоянным направлением, удовлетворяет условию H ; иными словами, мы будем считать, что L удовлетворяет условию Ляпунова [17,24].

Функция удовлетворяет условию H на этом множестве, если для любых двух переменной на этом множестве

, (4)

где A и - положительные постоянные показатели Гельдера, А – коэффициент, а - показатель условия Н и при =1 – условие Липшица, функции, удовлетворяющие условию Н называются непрерывными по Гельдеру и сильнее, чем обычное определение непрерывности.

г) Классическая задача Дирихле для многосвязных областей [24].

Найти (действительную) функцию u( x, y) , гармоническую в , по граничному условию

u= f( t) на L , (5)

где f( t) – заданная на L (действительная) непрерывная функция; в случае бесконечной области от функции u( x, y) требуется еще, чтобы она оставалась ограниченной на бесконечности, т.е. и стремится к вполне определенному пределу, когда z уходит в бесконечность.

Напомним, что всякая функция u( z) гармоническая вне круга в ряд.

, )

абсолютно и равномерно сходящийся вне круга любого радиуса поэтому u → при r →.

Для некоторых применений не меньший интерес представляет и следующая задача, которая называется "видоизмененной задачей Дирихле". Термин этот введен в статье Н.И.Мусхелишвили и Д.З.Авазошвили [17].

Видоизмененная задача Дирихле – задача Дирихле

для многосвязных областей.

Найти функцию u( x, y) , гармоническую в S⁺ , непрерывную в , по следующим условиям:

1. u( x, y)=Ф( z) является действительной частью функции Ф( z) , голоморфной в S⁺ ;

2. она удовлетворяет граничному условию

u= f( t)+ ( t) на L , (6)

где f( t) – заданная на непрерывная функция , , (7)

где постоянные не задаваемые заранее; в случае бесконечной области требование u( x, y)= f( t)+ на заменяются требованием ограниченности u( x, y) на бесконечности.