Реферат: Об интегральных формулах Вилля-Шварца для трехсвязных областей и ее применение к краевым задачам
Граничные значения гармонической функции на окружности кольца мы будем предполагать заданными в форме функций от полярного угла и обозначим их соответственно через и .
Сопряженная с гармоническая функция будет вообще говоря, не однозначной, и фкп будет состоять из двух слагаемых: однозначной составляющей, могущей быть разложенной в ряд Лорана в кольце, и логарифм с вещественным коэффициентом:
, . (29)
Отделяя вещественную и мнимую части, мы получим решение поставленной задачи – задачи Дирихле в кольце, но здесь суммируется не так просто.
Существует более компактная и эффективная формула – интегральная формула Вилля для кругового кольца [2], [3].
§3. Интегральная формула Анри Вилля – проблема Дирихле
для кругового кольца (1912).
Пусть в плоскости комплексного переменного дано круговое кольцо , ограниченное окружностями
, ,
где заданное положительное число <1.
Требуется найти регулярную и однозначную внутри области функцию , если известны значения ее вещественной части на границах кольца.
Для случая круга аналогичная задача решается известной формулой Шварца Г. (1869г) (п.1)
, (, ),
где с – действительная переменная.
Здесь предполагается, что радиус круга равен 1, а положение точки на окружности определяется аргументом этой точки, так что представляет значение вещественной части искомой функции в точке .
Нашей задачей является переход от круга к кольцу и построение формулы, аналогичной формуле (1).
Обозначим через и значения вещественной части искомой функции в точках с аргументом на внешней, соответственно внутренней, границе .
Основной нашей целью является выяснение того, как скажется на формуле переход от односвязной области к двусвязной.
Величина
,
где интеграл справа берется по окружности радиуса () с центром в точке , очевидно, не зависит от . Тем же свойством обладает и вещественная часть написанного интеграла.
Отсюда, приближая вначале к 1, а замечая, что в интеграле можно