Математика / Реферат: Об интегральных формулах Вилля-Шварца для трехсвязных областей и ее применение к краевым задачам

Реферат: Об интегральных формулах Вилля-Шварца для трехсвязных областей и ее применение к краевым задачам

(, )

Поэтому представима рядом:

(22)

где и - коэффициенты Фурье :

; ;

В центре окружности при мы получаем:

(23)

Равенство (23) – теорема Гаусса о том, что значение гармонической функции в центре окружности есть среднее арифметическое ее значений на самой окружности.

в) Интеграл Пуассона для внешности круга.

Найти функцию, гармоническую и ограниченную вне окружности и принимающую на самой окружности заданные значения [9]:

, ().

Покажем, что искомую функцию может быть представлена интегралом типа Пуассрна, который может быть получен из (1).

Пусть , а ,

Функция , гармоническая вне окружности , перейдет в функцию , гармоническую внутри круга радиуса , принимающую на его границе значения

По формуле (1) она при представима интегралом Пуассона:

Если в этом равенстве подставить вместо и их выражения через и и заменить переменную интегрирования, положив , то мы получим формулу Пуассона для внешности окружности:

, (24)

решающую поставленную задачу. Она отличается от (1) только тем, что в ней и переменились местами, так что ядро интеграла (4) отличается от ядра интеграла Пуассона (1) только знаком.

Разложение искомой функции в тригонометрический ряд, подобный ряду (22), представляющей ее вне окружности:

. (25)

Если в (25) ®, то получим теорему Гаусса для внешности окружности:

, (26)

т.е. значение гармонической функции на бесконечности есть среднее арифметическое значений на граничной окружности.

г) Задача Дирихле-Пуассона для полуплоскости.

Аналитический аппарат, позволяющий гармоническую функцию внутри верхней полуплоскости по известным граничным значениям ее вещественной оси, можно получить из интеграла Пуассона путем преобразования круга плоскости на верхнюю полуплоскость при помощи функции