Реферат: Общее понятие определённого интеграла, его геометрический и механический смысл

где τ_i – одна из точек сегмента [x_{i -1} , x_i ]. Отсюда:

Задачи о площади криволинейной трапеции.

Пусть на промежутке [a; b] задана функция f(x)≥0. Криволинейной трапецией называется плоская фигура, ограниченная указанной кривой y=f(x), прямыми x=a, x=b и осью Оx. (рис.1). Для вычисления ее площади проделаем несколько операций.

Рис. 1.

1). Разобьем промежуток [a; b] произвольными точками x₀ =a<x₁ <x₂ <…<x_{i -1} <x_i <…<x_n =b на n частей. Положим Δx_i = x_i – x_{i -1} , то есть Δx_i есть длина i-го частичного отрезка, а наибольшую из этих длин обозначим λ, (λ=maxΔx_i ).

2). На каждом отрезке [x_{i -1} , x_i ] возьмем по произвольной точке c_i ,

x_{i -1} <c_i < x_i и вычислим f(c_i ). Построим прямоугольник с основанием [x_{i -1} , x_i ] и высотой f(c_i ). Его площадь равна S_i =f(c_i )( x_i – x_{i -1} ). Проделаем это для каждого i = 1, 2, …, n.

3). Площадь всей заштрихованной ступенчатой фигуры, составленной из прямоугольников, равна сумме

Площадь Sкриволинейной трапеции будет приближенно равна площади ступенчатой фигуры:

Чем мельче отрезки деления, тем точнее полученная фигура “отображает” криволинейную трапецию.

4). За площадь криволинейной трапеции принимают предел, к которому стремятся площади ступенчатых фигур, когда длины отрезков деления стремятся к нулю, а их число неограниченно увеличивается (n→∞). Таким образом,

Определенный интеграл как предел интегральной суммы

Естественный ход решения каждой из рассмотренных конкретных задач позволяет установить ту математическую операцию, с выполнением которой связано получение ответа во всех вопросах такого же характера.

Пусть на отрезке [a, b] задана непрерывная функция y=f(x).

1). Заданный отрезок разделим на n промежутков (равных или неравных) точками

a=x₀ <x₁ <x₂ <…<x_{n -1} <x_n =b,

причем для всякого индекса i, принимающего целые значения от 1 до n, имеет место соотношение x_{i -1} <x_i . Выразим длину каждого из этих частичных промежутков:

x₁ - x₀ = Δx₁ , x₂ – x₁ = Δx₂ , ..., x_n – x_{n -1} = Δx_n .

При этом обозначим длину наибольшего из них через λ.

2). В каждом из этих промежутков выберем произвольное число ξ_i так, что x_{i -1} ≤ ξ_i ≤ x_i ., и по каждому такому числу определим соответствующее значение функции f(ξ_i ). Вычислим для каждого промежутка произведение f(ξ_i )Δx_i .

3). Составим сумму таких произведений по всем n промежуткам заданного отрезка:

f(ξ₁ )Δx₁ + f(ξ₂ )Δx₂ + f(ξ₃ )Δx₃ +...+ f(ξ_n )Δx_n = .

Такая сумма называется интегральной суммой.

Построение интегральной суммы состоит в произвольном делении заданного отрезка [a, b] на частичные и произвольном выборе числа ξ_i на каждом отрезке.