Реферат: Общее понятие определённого интеграла, его геометрический и механический смысл

Геометрический смысл определенного интеграла

Понятие определенного интеграла введено таким образом, что в случае, когда функция y = f(x) неотрицательна на отрезке [a; b], где a < b,

численно равен площади S под кривой y = f(x) на [a; b] (рис. 3).

Рис. 3

Действительно, при стремлении к нулю ломаная (рис. 4) неограниченно приближается к исходной кривой и площадь под ломаной переходит в площадь под кривой.

Рис. 4

Учитывая сказанное, можно указать значения некоторых интегралов, используя известные планиметрические формулы для площадей плоских фигур. Например,

и т.д.

(Первый из интегралов – площадь квадрата со стороной единичной длины; второй – площадь прямоугольного треугольника, оба катета которого единичной длины; третий – площадь четверти круга единичного радиуса).

Механический смысл определенного интеграла

Пусть материальная точка М перемещается под действием силы , направленной вдоль оси Ох и имеющей переменную величину F = F(x), где х – абсцисса движущейся точки М.

Найдем работу А силы по перемещению точки М вдоль оси Ох из точки х = а в точку х = b (a < b). Для этого отрезок [a; b] точками а = х₀ , х₁ , ..., b = х_n (х₀ < х₁ <...< х_n ) разобьем на n частичных отрезков [х₀ ; х₁ ], [х₁ ; х₂ ], ..., [х_{n -1} ; х_n ]. Сила, действующая на отрезке [х_{i -1} ; х_i ], меняется от точки к точке. Но если длина отрезка Δх_i = х_i – х_{i -1} достаточно мала, то сила на этом отрезке изменяется незначительно. Ее можно приближенно считать постоянной и равной значению функции F = F(x) в произвольно выбранной точке х = c_i [х_{i -1} ; х_i ]. Поэтому работа, совершенная этой силой на отрезке [х_{i -1} ; х_i ], равна произведению F(c_i )∙Δх_i . (Как работа постоянной силы F(c_i ) на участке [х_{i -1} ; х_i ]).

Приближенное значение работы А силы на всем отрезке [a; b] есть

Это приближенное равенство тем точнее, чем меньше длина Δх_i . Поэтому за точное значение работы А принимается предел суммы при условии, что наибольшая длина λ частичных отрезков стремится к нулю:

.

Итак, работа переменной силы , величина которой есть непрерывная функция F = F(x), действующая на отрезке [a; b], равна определенному интегралу от величины F(x) силы, взятому по отрезу [a; b].

В этом состоит механический смысл определенного интеграла.

Аналогично можно показать, что путь S, пройденный точкой за промежуток времени от t = a до t = b, равен определенному интегралу от скорости v(t):

масса т неоднородного стержня на отрезке [a; b] равна определенному интегралу от плотности

γ(х):

Необходимое условие интегрируемости

Теорема. Если функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a; b], то она интегрируема на этом отрезке.

Приведем пример нахождения определенного интеграла на основании определения.

Пример 1. Вычислить

Решение. Запишем выражение для интегральной суммы, предполагая, что все отрезки [х_{i -1} ; х_i ] разбиения имеют одинаковую длину Δх_i , равную 1/n, где n – число отрезков разбиения, причем для каждого из отрезков [х_{i -1} ; х_i ] разбиения точка ξ_i совпадает с правым концом этого отрезка, т.е.

ξ_i = х_i = ,