Реферат: Основні властивості простору Соболєва

при

З умови фундаментальності в середньому в треба, що окремо при

Аналогічно, з умови еквівалентності й по нормі треба, що при

Відповідно до визначення простору існують функції й такі, що при а в середньому.

Ми приходимо до наступного найважливішого визначення. Нехай Тоді у визначені елемент із представником і елемент із представником називається узагальненій похідній (у змісті Соболєва) від При цьому пишуть:

З визначення узагальненій похідній видно, що вона визначається не локально, в окремих крапках, а глобально – відразу на всім відрізку Нехай так що Перейдемо до межі при в рівностях

(1.4)

(1.5)

і, відповідно до теореми про поповнення й визначення інтеграла Лебега, прийдемо до формул (1.2) і (1.3), де тепер похідні розуміються в узагальненому змісті, а інтеграл – у змісті Лебега. Для конкретних обчислень, зрозуміло, можна й потрібно користуватися формулами (1.4) і (1.5), взявши досить велике тобто замість ідеальних елементів скористатися їхніми гладкими наближеннями

1.3 Інше визначення узагальненої похідної

Нехай – множина всіх безупинно диференцюємих на відрізку фінітних функцій Якщо тепер безупинно дференцюєма на відрізку те для довільної функції справедливо наступна інтегральна тотожність:

(1.6)

перевіряється інтегруванням вроздріб. Цією тотожністю повністю визначається.

Допустимо, що, крім того, для будь-яких і деякої безперервної на відрізку функції

(1.7)

Віднімаючи ці тотожності, одержимо, що для будь-яких

Звідси, внаслідок щільності в на відрізку Виявляється, інтегральна тотожність (1.7) можна прийняти за визначення узагальненої похідної. Насамперед, справедлива наступна лема.

Лема 1. Якщо то для будь-яких справедливо тотожність (1.6).

Доказ. Нехай тоді для всіх маємо (1.6):

Внаслідок властивості безперервності скалярного добутку в останній рівності можна перейти до межі при В результаті ми одержимо тотожність (1.6) для будь-якої функції Лема доведена.

Лема 2. Нехай дані такі, що для всіх справедливо тотожність (1.7). Тоді (узагальнена похідна).

Доказ. Нехай а Тоді

при

для будь-якого