Реферат: Основні властивості простору Соболєва
(2.4)
Для доказу цієї тотожності скористаємося формулою Гаусса-Остроградського:
Приймемо
й одержимо
Оскільки
а те одержуємо (2.4).
Нехай тепер а інтеграли (2.4) розуміються в змісті Лебега. Функція називається узагальненим рішенням крайової задачі (2.2) – (2.3), якщо для будь-якої функції виконується інтегральна тотожність (2.4).
Доведемо, що для будь-якої правої частини узагальнене рішення крайової задачі (2.2) – (2.3) існує і єдино.
Для цього помітимо, що гильбертовий простір вкладений у гильбертовий простір тому що, по визначенню всяка функція належить також і й справедлива оцінка для кожної (див. п. 1.5):
Отже, по теоремі 4 для всякої функції існує єдина функція така, що для всіх
а це і є інтегральну тотожність (2.4).
Висновок
Простір Соболєва й тісно пов'язане з ним поняття узагальненої похідної в сенсі Соболєва були уведені в математичну практику академіком С.Л. Соболєвим і відіграють найважливішу роль у теоретичних і прикладних питаннях математичної фізики й функціонального аналізу. Поповнення простору гладких функцій деякими ідеальними елементами, які можна з будь-яким ступенем точності обчислити за допомогою елементів із приводить, з одного боку, внаслідок повноти до точності й закінчення багатьох математичних тверджень, а з іншого боку, зберігає всі обчислювальні можливості.
Таким чином, ми розглянули простори Соболєва, їхні основні властивості й застосування в математичній фізиці.
Список літератури
1. Треногін В.О. Функціональний аналіз. – К., 2006
2. Соболєв С.Л. Деякі застосування функціонального аналізу в математичній фізиці. – К, 2004
3. Куланін Е.Д., Норін В.П. 3000 конкурсних задач по математиці. – К., 2000
4. Гусєв В.А., Мордкович А.Д. Довідкові матеріали по математиці. – К., 2003
5. Сканаві М.М. Збірник задач по математиці. – К., 2006