Математика / Реферат: Похідні та диференціали функції багатьох змінних

Реферат: Похідні та диференціали функції багатьох змінних

Якщо існує частинна похідна від функції за змінною, то цю похідну називають мішаною частинною похідною другого порядку від функції і позначають, або.

Отже, за означенням

або .

Для функції двох змінних можна розглядати чотири похідні другого порядку:

Якщо існують частинні похідні від частинних похідних другого порядку, то їх називають частинними похідними третього порядку функції, їх вісім:

Виникає запитання: чи залежить результат диференціювання від порядку диференціювання? Інакше кажучи, чи будуть рівними між собою мішані похідні, якщо вони взяті за одними і тими самими змінними, одне й те саме число разів, але в різному порядку? Наприклад, чи дорівнюють одна одній похідні

і або і?

У загальному випадку відповідь на це запитання негативна.

Проте справедлива теорема, яку вперше довів К.Г.Шварц.

Теорема (про мішані похідні).Якщо функція визначена разом із своїми похідними в деякому околі точки , причому похідні та неперервні в точці, то в цій точці

Аналогічна теорема справедлива для будь-яких неперервних мішаних похідних, які відрізняються між собою лише порядком диференціювання.

2 Диференційованість функції

похідна диференціал функція змінна

Нехай функція визначена в деякому околі точки. Виберемо прирости і так, щоб точка належала розглядуваному околу і знайдемо повний приріст функції в точці:

Функція називається диференційовною в точці М, якщо її повний приріст в цій точці можна подати у вигляді

, (1)

де та – дійсні числа, які не залежать від та , – нескінченно малі при і функції.

Відомо, що коли функція однієї змінної диференційовна в деякій точці, то вона в цій точці неперервна і має похідну. Перенесемо ці властивості на функції двох змінних.

Теорема 1 (неперервність диференційовної функції).

Якщо функція диференційовна в точці М, то вона неперервна в цій точці.