Реферат: Похідні та диференціали функції багатьох змінних

Таким чином, для неявної функції, заданої рівнянням (16), має місце тотожність

.

Які ж умови має задовольняти функція щоб рівняння (16) визначало неявну функцію і при тому єдину? Відповідь на це запитання дає така теорема існування неявної функції [8].

Теорема. Нехай функція і її похідні та визначені та неперервні у будь-якому околі точки і , а; тоді існує окіл точки , в якому рівняння визначає єдину неявну функцію, неперервну та диференційовну в околі точки і таку, що .

Знайдемо похідну неявної функції. Нехай ліва частина рівняння (16) задовольняє зазначені в теоремі умови, тоді це рівняння задає неявну функцію, для якої на деякій множині точок x має місце тотожність. Оскільки похідна функції, що тотожно дорівнює нулю, також дорівнює нулю, то повна похідна. Але за формулою (12) маємо , тому , звідки

. (17)

За цією формулою знаходять похідну неявної функції однієї змінної.