Реферат: Похідні та диференціали функції багатьох змінних

Поділимо обидві частини цієї рівності на і перейдемо до границі при:

.

Отже, в точці існує частинна похідна. Аналогічно доводиться, що в точці існує частинна похідна.

Твердження, обернені до теорем 1 і 2, взагалі кажучи, неправильні, тобто із неперервності функції або існування її частинних похідних ще не випливає диференційовність. Наприклад, функція неперервна в точці, але не диференційовна в цій точці. Справді, границі

не існує, тому не існує й похідної. Аналогічно впевнюємося, що не існує також похідної. Оскільки задана функція в точці не має частинних похідних, то вона в цій точці не диференційовна.

Більш того, відомо приклади функцій, які є неперервними в деяких точках і мають в них частинні похідні, але не є в цих точках диференційовними.

Теорема 3 (достатні умови диференційовності ).

Якщо функція має частинні похідні в деякому околі точки і ці похідні неперервні в точці М, то функція диференційовна в точці М.

Доведення

Надамо змінним x і приростів , таких, щоб точка належала даному околу точки . Повний приріст функції запишемо у вигляді

. (2)

Вираз у перших квадратних дужках рівності (2) можна розглядати як приріст функції однієї змінної x, а в других – як приріст функції змінної . Оскільки дана функція має частинні похідні, то за теоремою Лагранжа отримаємо:

.

Похідні та неперервні в точці М, тому

,

.

Звідси випливає, що

,

,

де, – нескінченно малі функції при і.

Підставляючи ці вирази у рівність (2), знаходимо

, а це й означає, що функція диференційовна в точці.

З теорем 2 і 3 випливає такий наслідок: щоб функція була диференційовною в точці, необхідно, щоб вона мала в цій точці частинні похідні, і достатньо, щоб вона мала в цій точці неперервні частинні похідні.

Зазначимо, що для функції однієї змінної існування похідної в точці є необхідною і достатньою умовою її диференційовності в цій точці.

3 Повний диференціал функції та його застосування до обчислення функцій і похибок. Диференціали вищих порядків

Нагадаємо, що коли функція диференційовна в точці, то її повний приріст у цій точці можна подати у вигляді

,