Реферат: Похідні та диференціали функції багатьох змінних

Щоб оцінити максимальну відносну похибку функції u, поділимо обидві частини рівності (7) на:

.

Оскільки, то

,

або

,

тобто максимальна відносна похибка функції дорівнює максимальній абсолютній похибці її логарифма.

Введемо поняття диференціала вищого порядку.

Нехай функція незалежних змінних ,. Повний диференціал цієї функції, знайдений за формулою (3), називають ще диференціалом
першого порядку. Диференціал другого порядку визначають за формулою

.

Тоді, якщо функція має неперервні частинні похідні, то

,

звідки

. (8)

Символічно це записують так:

.

Аналогічно можна отримати формулу для диференціала третього порядку:

.

Застосовуючи метод математичної індукції, можна отримати формулу для диференціала n-го порядку:

. (9)

Зазначимо, що формула (9) справедлива лише для випадку, коли змінні x і функції є незалежними змінними.

4 Похідна складеної функції. Повна похідна. Інваріантність форми повного диференціала

Нехай – функція двох змінних та , кожна з яких, у свою чергу, є функцією незалежної змінної :

тоді функція є складеною функцією змінної .

Теорема. Якщо функції диференційовні в точці, а функція диференційовна в точці, то складена функція також диференційовна в точці. Похідну цієї функції знаходять за формулою

. (10)

Доведення

За умовою теореми ,