Реферат: Похідні та диференціали функції багатьох змінних

Поділимо на і перейдемо до границі при:

Аналогічно знаходять похідну, якщо число проміжних змінних більше двох. Наприклад, якщо , де , то

. (11)

Зокрема, якщо, а, то

,

а оскільки, то

. (12)

Цю формулу називають формулою для обчислення повної похідної
(на відміну від частинної похідної).

Розглянемо загальніший випадок. Нехай – функція двох змінних та, які, в свою чергу, залежать від змінних :, , тоді функція є складеною функцією незалежних змінних та, а змінні та – проміжні.

Аналогічно попередній теоремі доводиться таке твердження.

Якщо функції та диференційовні в точці , а функція диференційовна в точці , то складена функція диференційовна в точці і її частинні похідні знаходяться за формулами:

; . (13)

Формули (13) можна узагальнити на випадок більшого числа змінних. Якщо, де, то

Знайдемо диференціал складеної функції. Скориставшись формулами (13), отримаємо

Отже, диференціал функції, де , , визначається формулою

, (14)

де

.

Порівнявши формули (14) і (4) дійдемо висновку, що повний диференціал функції має інваріантну (незмінну) форму незалежно від того, чи є x та незалежними змінними, чи диференційовними функціями змінних u та v. Проте формули (4) і (14) однакові лише за формою, а по суті різні, бо у формулі (4) і– диференціали незалежних змінних, а у формулі (14) і– повні диференціали функцій та .

Диференціали вищих порядків властивості інваріантності не мають. Наприклад, якщо, де , , то

(15)

Формула (15) відрізняється від формули (8), оскільки для складеної функції диференціали та можуть і не дорівнювати нулю. Отже, для складеної функції, де , , формула (8) неправильна.

5 Диференціювання неявної функції

Нехай задано рівняння

, (16)

де – функція двох змінних.