Математика / Реферат: Похідні та диференціали функції багатьох змінних

Реферат: Похідні та диференціали функції багатьох змінних

Повним диференціалом диференційовної в точці функції називається лінійна відносно та частина повного приросту цієї функції в точці M, тобто

. (3)

Диференціалами незалежних змінних x та назвемо прирости цих змінних. Тоді з урахуванням теореми 2 рівність (3) можна записати так:

. (4)

Аналогічна формула має місце для диференційовної функції трьох змінних:

. (5)

З формул (4) і (5) може здатися, що повний диференціал існуватиме у кожній точці, в якій існують частинні похідні. Але це не так. Згідно з означенням, повний диференціал можна розглядати лише стосовно диференційовної функції.

Теореми та формули для диференціалів функції однієї змінної повністю зберігаються і для диференціалів функцій двох, трьох і т.д. змінних . Так, незалежно від того, від яких аргументів залежать функції u і , завжди справедливі рівності

Покажемо, що різниця між повним приростом і диференціалом при і є нескінченно мала величина вищого порядку, ніж величина.

Дійсно, з формул (1) і (3) маємо

оскільки функції – нескінченно малі при, , а та – обмежені функції:

Отже, різниця – нескінченно мала величина вищого порядку, ніж. Тому повний диференціал називають також головною частиною повного приросту диференційовної функції. При цьому виконується наближена рівність або

. (6)

Ця рівність тим точніша, чим менша величина. Рівність (6) широко використовується у наближених обчисленнях, оскільки диференціал функції обчислюється простіше, ніж повний приріст.

Покажемо, як за допомогою диференціала можна оцінити похибку в обчисленнях.

Нехай задана диференційовна функція, незалежні змінні якої виміряні з точністю. Потрібно знайти похибку, з якою обчислюється u.