Реферат: Полный курс лекций по математике

Числовые системы, применяемые в математике, могут быть расчленены на пять главных ступеней: 1) множество целых положительных чисел – натуральное множество N 2) относительные числа, включающие положительные числа, отрицательные числа и нуль; 3) рациональные числа, в которые входят целые числа и дроби; 4) действительные числа, включая иррациональные числа, т.е. числа, которые можно представить бесконечной непериодической десятичной дробью, такие как π , , и т.д. 5) комплексные числа, вводящие в рассмотрение «мнимое число» .

История развития числа от целого числа до иррационального знакома нам по школьному курсу.

С эпохи Возрождения математики стали использовать числа вида z = x+iy для решения квадратных уравнений, дискриминант у которых отрицателен, где

i =, i² = –1, х и у – вещественные числа

Само число z = x + i y называется комплексным, а i =, мнимой единицей. Нельзя назвать число i ни положительным ни отрицательным.

«Мнимые числа – поразительный полет духа божьего» – писал Лейбниц в 1702 году. Сегодня комплексные числа прочно вошли в математический аппарат. Языком комплексных чисел написаны многие труды по математике, физике, технике.

Пример. Найти корни уравнения х²+x+1=0.

1) Находим дискриминант Д= 1 – 4 = –3 < 0; 2) Находим корни уравнения х = (-1+)/2 = (-1+i)/2;

х = (-1-)/2 = (-1-i)/2;

Это уравнение имеет комплексные корни, где i =.

Итак, число z = x + i y называется комплексным числом. x = Rez - называется вещественной частной числа, y = Im z - называется мнимой частного числа, х и у - вещественные числа.

Например, 1) z = 2 + 3i, Rez = 2 - вещественная часть числа, Im z = 3 мнимая часть числа.

2) z = -15 + i, Rez = -15 - ввещественная часть числа, Im z =1 - мнимая часть числа.

Свойства комплексных чисел

1. Комплексное число равно нулю тогда и только тогда, когда равны нулю его вещественная и мнимая части, т.е. z = 0 <=> Rez = х=0, Im z =у=0.

(<=> - знак эквивалентности, или можно заменить слова «тогда и только тогда», необходимо и достаточно).

2. Если мнимая часть числа Im z =у=0, то z = х есть вещественное число, т.е. вещественные числа являются частью комплексных чисел.

Например, . z = 5+i0 = 5. Мнимая часть числа 5 равна 0.

3. Два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда соответственно равны их вещественные и мнимые части. Пусть. z = х+iy, z = х+iy, z = z если х = х и y= y.

4. Множество комплексных чисел неупорядоченное множество, т.е. из двух комплексных чисел нельзя указать последующее и предыдущее. Между двумя комплексными числами нельзя поставить знаки неравенства >или<.

Например, z = 10+15i, z = 2-100i. Нельзя сказать которое из двух чисел больше.

Определение. Числа z = x + i y и = x - i y называются комплексно сопряженными.

Например, z = -2 + 3i, = -2 - 3i

z = 1 – i, = 1 + i

Действия над комплексными числами.

Если два комплексных числа складывать, перемножать или делить друг на друга, то мы получим новое комплексное число.

Пример 1. Дано z = -1 + 2i, z = 3 - 5i. Найти z + z. Решение z + z= -1 + 2 i + 3 - 5i = 2 - 3i, т.е. складываются вещественные части и мнимые части.

Пример 2 Дано z = 2 + 3i, z = -1 + i. Найти z - z. Решение z - z= 2 + 3 i –(-1 + i) = 2 + 3i + 1 – i = 3 + 2i. т.е. складываются вещественные части и мнимые части.

Пример 3 Дано z = -1 + 2i, z = 3 - 5i. Найти z* z. Решение, z* z= (-1 + 2 i )*( 3 - 5i ) = -3 + 6i +5i – 10 i² = - 3 +10 +11 i = 7+ 11 i, надо помнить, что i² = - 1.

Пример 4 Дано z = 2 - i, , = 2 + i. Найти z * .

Решение z * = (2 – i ) *(2+ i ) = 2² - i² = 4+1 = 5, где i² = -1. Произведение комплексно сопряженных чисел есть вещественное число равное сумме квадратов вещественной и мнимой частей.