Реферат: Полный курс лекций по математике

3)3х - 4у+1=0

4х + 3у+7=0

Решение. 1) Найдем условные коэффициенты обеих прямых, для этого каждое уравнение разрешим относительно у.

у=3х+7, у=3х - 1/2. Эти прямые параллельны, т.к. К₁ =К₂ =3

2) Разрешим каждое уравнение относительно у

У=3х+5, у= -1/3х+1/3, К₁ =3, К₂ = -1/3, т.к. К₂ =-1/К₁ , то мы можем сказать, что эти две прямые перпендикулярны.

3) Разрешим каждое уравнение относительно у

у = 3/4х+1/4, у = - 4/3х +х/3; К₁ = 3/4, К₂ = 4/3

Эти прямые не являются параллельными, т.к. К₁ ≠К₂ , эти прямые являются перпендикулярными, т.к. К₂ = -1/К₁

Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении.

у - у₀ =К (х - х₀ ) – уравнение прямой, проходящей через данную точку М₀ (х₀ ,у₀ ), в данном направлении, т.е. К известен.

Задача. Через точку М₀ (1,-2) провести прямую ℓ параллельную прямой у = 2х - 1

Решение. Уравнение прямой ℓ запишем в виде у-у₀ =К(х-х₀ ). Х₀ и у₀ – нам даны, это х₀ =1, у₀ =-2, К – угловой коэффициент найдем из условия параллельности двух прямых К=2. у+2=2(х - 1) – искомое уравнение или 2х – у - 4=0

Тема 5. Кривые второго порядка.

К кривым второго порядка относят кривые, записанные уравнением Ах² + Вху + Су² + Ех + Ду + F = 0. В зависимости от значений коэффициентов (вещественные числа) это могут быть окружность, эллипс, гипербола, парабола. Эти кривые были известны с глубокой древности. Все эти кривые суть сечения прямого кругового конуса плоскостями (конические сечения).

Эллипс. Эллипсом называется геометрическое место точек, сумма расстояний которых от двух данных точек F₁ и F₂ (фокусов) есть величина постоянная 2а, большая F₁ F₂ . Каноническое уравнение (простейшее) уравнение эллипса: х² /а² + у² /в² =1

Эллипс, заданный таким уравнением симметричен относительно осей координат (рис 1)

М (х,у) – произвольная точка эллипса, (х,у) – текущие координаты этой точки. Все точки эллипса удовлетворяют условию: F₁ M + F₂ M=2a.

а,в называются полуосями эллипса, а – большая полуось, в – малая полуось. F₁ и F₂ – фокусы эллипса находятся на оси ох на расстоянии С= ² – в² ) от центра О. Отношение с/а = Е называется эксцентриситетом эллипса.

Пример 1. 1)Написать уравнение эллипса, если а=4, в=3; 2)Найти координаты фокусов; 3)Найти Е.

Ответ: 1) х² /16 + у² /9=1; 2) С= = , F₁ (- , 0); F₂ ( , 0); 3)Е = с/а = /4 < 1.

Гипербола. Гиперболой называется геометрическое место точек, разность расстояний каждой из которых до двух данных точек F₁ и F₂ (фокусов) есть постоянная величина 2а (0<2a<F₁ , F₂ ).

Каноническое (простейшее) уравнение гиперболы.

Х² /а² – у² /в² = 1

Гипербола, заданная уравнением симметрична относительно осей координат (Рис 2). Она пересекает ось ох в точках А₁ ( -а, 0) и А₂ (+а, 0) – вершинах гиперболы и не пересекает ось оу. Параметр а называется вещественной полуосью, в – мнимой полуосью, С=(а² +в² ) - расстояние от фокуса до центра симметрии О. Отношение с/а=Е называется эксцентриситетом гиперболы. Прямые у= ±в/а х называются асимптотами гиперболы.

Рис.2

F1

F2

0

М(х,у) – произвольные точки гиперболы, (х,у) – текущие координаты произвольной точки. Все точки гиперболы удовлетворяют условию

│F₁ M-F₂ M│=2a.

Пример 2 . Дана гипербола х²-4у²=16. 1)Написать каноническое уравнение гиперболы; 2)Найти вещественную и мнимую полуоси; 3) Найти асимптоты гиперболы; 4) Вычислить эксцентриситет Е.

Ответ: 1)х²/16 - у²/4 = 1; 2) а= = 4; в= = 2. 3) у = ±(в/а) х или у = ±(2/4)х или у = ±(1/2)х; 4) с= (а² + в²) = = = 2,