Реферат: Поняття фракталів

Для реалізації вказаного вище алгоритму побудови необхідно перейти до комплексних чисел Z_A , Z_B и Z_C (Мал.14).

Мал.13

Для знаходження координат точки C представимо комплексні числа в тригонометричній формі. Знаходження координат точки C представлене формулами 1-8.

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

Гранична фрактальна крива (коли n прямує до нескінченності) називається драконом Хартера-Хейтуея . У машинній графіці використання геометричних фракталів необхідно для отримання зображень дерев, кущів, берегових ліній. Двовимірні геометричні фрактали використовуються для створення об’ємних текстур (малюнка на поверхні об’єкту).

2.5 Алгебраїчні фрактали

Це найкрупніша група фракталів. Отримують їх за допомогою нелінійних процесів в n -мірних просторах. Найбільш досліджені двомірні процеси. Інтерпретуючи нелінійний ітераційний процес, як дискретну динамічну систему, можна користуватися термінологією теорії цих систем: фазовий портрет, сталий процес, аттрактор та інші.

Відомо, що нелінійні динамічні системи володіють декількома стійкими станами. Той стан, в якому виявилася динамічна система після деякої кількості ітерацій, залежить від її початкового стану. Тому кожен стійкий стан (або як говорять - аттрактор) володіє деякою областю початкових станів, з яких система обов'язково попаде в дані кінцеві стани. Таким чином фазовий простір системи розбивається на області тяжіння аттракторів. Якщо фазовим є двомірний простір, то забарвлюючи області тяжіння різними кольорами, можна отримати кольоровий фазовий портрет цієї системи (ітераційного процесу). Змінюючи алгоритм вибору кольору, можна отримати складні фрактальні картини з химерними багатокольоровими узорами. Несподіванкою для математиків стала можливість за допомогою примітивних алгоритмів породжувати дуже складні нетривіальні структури.

Мал.14.

Наприклад, фрактал Ньютона, який штрихується відповідно до кількості ітерацій (мал.14).

2.6 Графіки функцій комплексної змінної

Комплексні числа можна трактувати як точки на площині. Тоді множину Мандельброта можна побудувати у просторі .

Взагалі, графік дійсної функції можна побудувати в двомірному просторі (2D), на площині xOy. Це багатьом знайомо й звично(мал.15 а,б):

Мал.15(а,б)

Графік комплексної функції можна було б побудувати в чотиривимірному (4D) просторі (дві координати потрібно для зображення , і дві – для ).

На жаль, переважна більшість людей стикаються з серйозними проблемами при уяві чотиривимірного простору... Тому, одне з хитрощів, зазвичай вживане, полягає в наступному: графік будується в тривимірному (3D) просторі. Вісь Ox відповідає за , вісь Oy – за , вісь Oz – за…….. Для зображення використовується колір отриманої 3D-крапки. Колір береться із заздалегідь сформованої кольорової шкали (градієнта).

Ось декілька прикладів (мал.16 а,б) для :

а)