Реферат: Поняття фракталів

б)

Мал.16 (а,б)

Для наочності під отриманою «поверхнею» зображено множина значень ( («кругла тінь»).

2.7 Формули побудови фракталів

2.7.1 Різновид алгебраїчних фракталів — басейни Ньютона (мал.17).

p(z) = 0, p(z) = − 1,

які будуються за формулою:

Узагальнена формула , де a — будь-яке комплексне число.

2.7.2 Множина Жюліа та Мандельброта

Позначимо через площину комплексних чисел, а через — риманову сферу . Розглянемо процес, де та . Взявши будь-яке число , піднесемо до квадрату та додамо константу для того, щоб отримати ; потім повторимо розрахунки для того, щоб отримати , і так далі.

Почнемо з найпростішого із можливих значень константи , тобто . Тоді при кожній ітерації підраховується точний квадрат числа: . У залежності від значення розглядається три випадки:

1. Якщо , тоді числа отримуються все менші та менші, їх послідовність прямує до нуля.

2. Якщо , тоді числа отримуються все більші та більші, прямуючи до нескінченності.

3. Якщо , тоді точки продовжують залишатися на відстані 1 від нуля. Їх послідовності лежать на границі двох областей тритягання, у данному випадку на колі (мал.18) з одиничним радіусом та центром у нулі.

Мал.18

Ситуація така: площина ділиться на дві зони впливу, а границя між ними є просто коло.

Сюрприз починається, коли ми візьмемо значення параметру не дорівнює нулю, наприклад . У цьому випадку для послідновності присутні також три вищеперелічених випадків, але внутрішня точка, до якої прямує послідовність, вже не є нулем, а границя вже не є плоскою, вона надто крива(мал.19). Саме це Б. Мандельброт назвав фрактальной структурой такої границі.

Мал.19

Однією з таких характерних особливостей такої границі є її самоподібність. Якщо взяти будь-яку частину границі, то можна побачити, що вона зустрічається в різних місцях границі та мають різні розміри. Границі такого виду в математиці називають множинами Жюліа.

Різноманітні значення параметру можуть створювати різноманітні множини Жюліа, причому найменші зміни цього параметру нерідко призводять до суттєвих метаморфоз.