Реферат: Поняття фракталів

Існує правило, що з’ясовує вид множини Жюліа. Воно залежить від параметру та пов’язано з зображенням множини Мандельброта. Множина всіх точок , для яких ітерації залишаються обмеженими при , називається множиною Мандельброта (мал.21).

Мал.21

Цікаво, що всі значення , при яких множини Жюлиа зв’язні, належать множині Мандельброта, тому останнє може бути визначеним і як множина всіх значень параметру , при яких множина Жюліа зв’язна.

Сукупність елементів поля коплексних чисел, для яких послідовність: , що визначена ітераційно за правилом , де …… задовольняє умову . Наприклад множина Мандельброта (мал.22 а,б,в,г,д,е).

а) б) в)

г) д) е)

Мал.22

Висновок

Фрактал є однією з багатьох складових частин певної субстанції, тому зникнення однієї з таких складових призводить до втрати візуальної гармонії, що людське око розпізнає одразу. Присутність фрактала з першого погляду можна і не помітити, якщо не заглиблюватись у досконале вивчення математики. Ця наука, дійсно, не має меж і постійно спонукає до різноманітних досліджень.

Фрактал — це математична величина, що зустрічається досить часто. Але якщо добре не придивитися, його можна і не побачити. Абсолютно точна, алгебраїчна величина, яка творить собою неймовірні фігури, візерунки та складає цікаві орнаменти, що ми зустрічаємо кожного дня. Це і листя папороті, і маленькі сніжинки та ще багато іншого.

Галілео Галілей у 1623 році писав: “Вся наука записана у цій великій книзі, — я маю на увазі Всесвіт, — що завжди відкрита для нас, але яку неможливо зрозуміти, не навчившись розуміти мову, на якій вона написана, а написана вона на мові математики, і її лутерами є трикутники, кола і інші геометричні фігури, без яких людині не можливо розібрати жодного її слова; без них вона подібна блукаючому в пітьмі…”

Поняття фрактала змінило багато традиційних уявлень про геометрію, а в історії розвитку математики введення цього поняття стало переломним моментом. З кожним роком поняття фрактала стає відоме все більш широкому колу людей. І зараз цей термін важко залишити без належної уваги. У природі є багато чого, що має прямий зв’язок до цього терміну.

Займаючись цією темою напротязі двох років, я більш широко дізнався про об’єкт дослідження: його властивості, способи створення та використання. З алгебраїчних фракталів я звернув увагу на три основні їх види: множину Мандельброта, множину Жюліа, дракон Хартера-Хейтуея, які відрізняються один від одного за побудовою та своїми загальними формулами створення, на мою думку, найбільше досліджені в наш час. За допомогою їх з’являється більшість новостворених фракталів.

Знайшовши збірник зображень фракталів, що були створені небагато років тому, і серед яких провели конкурс на найкращий малюнок, мене дуже вразило розмаїття кольорів та фантазія людей. Мені стало відомо, яким чином вони створюються в наш час, що цією темою зацікавлені люди, яким до вподоби неординарне художнє мистецтво, що не рідко втілюється у комп’ютерній графіці.

Сподіваюсь, що і після закінчення гімназії, у мене залишиться велике бажання продовжити досліджувати загальні формули побудови фракталів і за допомогою цих формул створювати нові фрактали та захоплюватися їхньою незрівнянною красою.

Використана література

1. Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. — М.: «Институт компьютерных исследований», 2002.

2. Пайтген Х.-О., Рихтер П. Х. Красота фракталов. — М.: «Мир», 1993.

3. Федер Е. Фракталы. — М: «Мир», 1991.

4. Фоменко А. Т. Наглядная геометрия и топология. — М.: изд-во МГУ, 1993.

5. Фракталы в физике. Труды 6-го международного симпозиума по фракталам в физике, 1985. — М.: «Мир», 1988.

6. Шредер М. Фракталы, хаос, степенные законы. Миниатюры из бесконечного рая. — Ижевск: «РХД», 2001.

7. Мандельброт Бенуа, Ричард Л. Хадсон (Не)послушные рынки: фрактальная революция в финансах = The Misbehavior of Markets. — М.: «Вильямс», 2006. — С. 400. ISBN 5-8459-0922-8

8. http://en.wikipedia.org/wiki/Fractal

9. http://en.wikipedia.org/wiki/Mandelbrot_set