Реферат: Преобразование Лапласа
· Другие свойства
Линейность
Умножение на число
6. Прямое и обратное преобразование Лапласа некоторых функций
Ниже представлена таблица преобразования Лапласа для некоторых функций.
№ | Функция | Временная область | Частотная область | Область сходимости для причинных систем |
| 1 | идеальное запаздывание |  |  | |
| 1а | единичный импульс |  |  |  |
| 2 | запаздывание n-го порядка с частотным сдвигом |  |  |  |
| 2а | степенная n-го порядка |  |  | |
| 2а.1 | степенная q-го порядка |  |  | |
| 2а.2 | единичная функция |  |  | |
| 2b | единичная функция с запаздыванием |  |  | |
| 2c | «ступенька скорости» |  |  | |
| 2d | n-го порядка с частотным сдвигом |  |  |  |
| 2d.1 | экспоненциальное затухание |  |  |  |
| 3 | экспоненциальное приближение |  |  |  |
| 4 | синус |  |  | |
| 5 | косинус |  |  | |
| 6 | гиперболический синус |  |  |  |
| 7 | гиперболический косинус |  |  | |
| 8 | экспоненциально затухающий синус |  |  | |
| 9 | экспоненциально затухающий косинус |  |  | |
| 10 | корень n-го порядка |  |  | |
| 11 | натуральный логарифм |  |  | |
| 12 | функция Бесселя первого рода порядка n |  |  |  |
| 13 | модифицированная функция Бесселя первого рода порядка n |  |  |  |
| 14 | функция Бесселя второго рода нулевого порядка |  | ||
| 15 | модифицированная функция Бесселя второго рода, нулевого порядка |  | ||
| 16 | функция ошибок |  |  | |
Примечания к таблице:
· — функция Хэвисайда.
· 
— дельта-функция.
· 
— гамма-функция.
· 
— постоянная Эйлера — Маскерони.
· 
, — вещественная переменная.
· 
— комплексная переменная.
· 
, 
, 
и 
— вещественные числа.
· 
— целое число.
Причинная система — система, в которой импульсная передаточная функция h(t) равна нулю для любого момента времени 
.
7. Применения преобразования Лапласа
Преобразование Лапласа находит широкое применение во многих областях математики (операционное исчисление), физики и техники.
· Решение систем дифференциальных и интегральных уравнений с помощью преобразования Лапласа легко переходить от сложных понятий математического анализа к простым алгебраическим соотношениям.
· Расчёт передаточных функций динамических систем, таких, к примеру, как аналоговые фильтры.
· Расчёт выходных сигналов динамических систем в теории управления и обработке сигналов — так как выходной сигнал линейной стационарной системы равен свёртке её импульсной характеристики с входным сигналом, преобразование Лапласа позволяет заменить эту операцию на простое умножение.
· Расчёт электрических схем. Производится путём решения дифференциальных уравнений, описывающих схему операторным методом.
· Решение нестационарных задач математической физики.
8. Связь с другими преобразованиями